Question

（2012•臺(tái)州一模）若橢圓和雙曲線具有相同的焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，離心率分別為e₁，e₂，P是兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且滿足PF₁⊥PF₂，則

1

e 2 1

+

1

e 2 2

的值為（　�。�

• A．4
• B．2
• C．1
• D．

  1

  2

Answer 1

分析：利用雙曲線、橢圓的定義，結(jié)合PF₁⊥PF₂，利用離心率的定義，即可求得結(jié)論．

解答：解：由題意設(shè)焦距為2c，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2m，不妨令P在雙曲線的右支上
由雙曲線的定義|PF₁|-|PF₂|=2m①，由橢圓的定義|PF₁|+|PF₂|=2a②
又PF₁⊥PF₂，∴∠F₁PF₂=90°，∴|PF₁|²+|PF₂|²=4c²   ③
①²+②²得|PF₁|²+|PF₂|²=2a²+2m²④
由③④得a²+m²=2c²，即

1

c2 a2

+

1

c2 m2

=1，
∴

1

e 2 1

+

1

e 2 2

=2
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的共同特征，解題的關(guān)鍵是得到兩個(gè)曲線的參數(shù)之間的關(guān)系，屬于中檔題．