Question

在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知向量

m

=(cos

3A

2

，sin

3A

2

)，

n

=(cos

A

2

，sin

A

2

)，且滿足|

m

+

n

|=

3

，
（1）求角A的大��；
（2）若b+c=

3

a，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所給的向量的坐標(biāo)和向量模的條件，得到關(guān)于角A的三角函數(shù)關(guān)系，本題要求角A的大小，利用整理出來的三角函數(shù)值和角是三角形的內(nèi)角，得到結(jié)果．
（2）本題是一個(gè)解三角形問題，應(yīng)用上一問給出的結(jié)果，和b+c=

3

a．根據(jù)正弦定理把邊之間的關(guān)系變化為角之間的關(guān)系，逆用兩角和的正弦公式，得到結(jié)果．

解答：解：（1）∵|

m

+

n

|=

3

，∴|

m

+

n

| 2=2+  cosA=3，∴cosA=

1

2

，∴A=

π

3

（2）∵b+c=

3

a，∴a2=

(b+c)2

3

，∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

2b2-2bc+2c2

6bc

=

1

2

，∴2b²-5bc+2c²=0，∴b=2c，b=

c

2

    當(dāng)b=2c時(shí)，a²+c²=3c²+c²=4c²=b²，△ABC是以∠C為直角的直角三角形
    當(dāng)b=

c

2

時(shí)，a²+b²=c²，△ABC是以∠B為直角的直角三角形
    終上所述：△ABC是直角三角形

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用．考查了學(xué)生分析問題和靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的能力．