Question

已知函數(shù)f(x)＝x²－1與函數(shù)g(x)＝alnx(a≠0)．

(1)若f(x)，g(x)的圖象在點(diǎn)(1,0)處有公共的切線，求實(shí)數(shù)a的值；

(2)設(shè)F(x)＝f(x)－2g(x)，求函數(shù)F(x)的極值．

Answer 1

解　(1)因?yàn)?i>f(1)＝0，g(1)＝0.

所以點(diǎn)(1,0)同時(shí)在函數(shù)f(x)，g(x)的圖象上，

因?yàn)?i>f(x)＝x²－1，g(x)＝alnx，

所以f′(x)＝2x，g′(x)＝.

由已知，得f′(1)＝g′(1)，所以2＝，即a＝2.

(2)因?yàn)?i>F(x)＝f(x)－2g(x)＝x²－1－2alnx(x>0)．所以F′(x)＝2x－＝，

當(dāng)a<0時(shí)，

因?yàn)?i>x>0，且x²－a>0，所以F′(x)>0對x>0恒成立．

所以F(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，F(x)無極值；

當(dāng)a>0時(shí)，

令F′(x)＝0，解得x₁＝，x₂＝－(舍去)．

所以當(dāng)x>0時(shí)，F′(x)，F(x)的變化情況如下表：

x	(0，)		(，＋∞)
F′(x)	－	0	＋
F(x)	遞減	極小值	遞增