Question

設(shè)無窮數(shù)列{a_n}，如果存在常數(shù)A，對于任意給定的正數(shù)?（無論多小），總存在正整數(shù)N，使得n＞N時(shí)，恒有|a_n-A|＜?成立，就稱數(shù)列{a_n}的極限為A，則四個無窮數(shù)列：
①{（-1）ⁿ×2}；
②{

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

}；
③{1+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

}；
④{1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ}，
其極限為2共有（　　）

• A、4個
• B、3個
• C、2個
• D、1個

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的極限

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：分別求和，再求極限，即可得出結(jié)論．

解答： 解：①數(shù)列{（-1）ⁿ×2}是擺動數(shù)列，不存在極限；
②

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

（1-

1

2n+1

），數(shù)列{a_n}的極限為

1

2

；
③{1+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

}的極限為

1

1- 1 2

=2；
④S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ…①，
2S_n=1•2²+2•2³+…+n•2ⁿ⁺¹ …②，
∴①-②得-S_n=2¹+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
∴-S_n=2ⁿ⁺¹-2-n×2ⁿ⁺¹
∴S_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2，
∴數(shù)列{a_n}的極限不存在．
故選：D．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的極限，考查數(shù)列的求和，正確求和是關(guān)鍵．