Question

10．設(shè)f（x）為單調(diào)且二階可導(dǎo)函數(shù)，其反函數(shù)為x=g（y），且已知f（1）=2，f′（1）=-$\frac{1}{\sqrt{3}}$，f″（1）=1，求g″（2）．

Answer 1

分析 根據(jù)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的辯證關(guān)系，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的定義，可得g′（y）=$\frac{1}{f′（x）}$，g″（y）=-$\frac{f″（x）}{[f′（x）]^{3}}$，代入可得答案．

解答 解：∵f（x）的反函數(shù)為x=g（y），
∴g′（y）=$\frac{1}{f′（x）}$，
g″（y）=-$\frac{f″（x）}{[f′（x）]^{3}}$，
∵f（1）=2，f′（1）=-$\frac{1}{\sqrt{3}}$，f″（1）=1，
∴g″（2）=-$\frac{f″（1）}{{[f′（1）]}^{3}}$=3$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，求出g″（y）=-$\frac{f″（x）}{[f′（x）]^{3}}$是解答的關(guān)鍵．