Question

在圓x²+y²=4上任取一點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P在x軸上的正投影為點(diǎn)D．當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M滿足

PD

=2

MD

，動(dòng)點(diǎn)M形成的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）已知點(diǎn)E（1，0），若A，B是曲線C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足EA⊥EB，求

EA

•

BA

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）解法1：由

PD

=2

MD

知點(diǎn)M為線段PD的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是（x，y），則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x，2y）代入圓的方程即可求曲線C的方程；
解法2：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是（x，y），點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x₀，y₀），由

PD

=2

MD

得，x₀=x，y₀=2y，代入圓的方程求解即可．
（2）通過EA⊥EB，

EA

•

EB

=0，設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），

EA

•

BA

=

EA

2=(x1-1)2+y12=x12-2x1+1+1-

x12

4

=

3

4

x12-2x1+2=

3

4

(x1-

4

3

)2+

2

3

，利用-2≤x₁≤2，即可求解

EA

•

BA

的取值范圍．

解答： （本小題滿分14分）
解：（1）解法1：由

PD

=2

MD

知點(diǎn)M為線段PD的中點(diǎn)．…（1分）
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是（x，y），則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x，2y）．…（2分）
∵點(diǎn)P在圓x²+y²=4上，
∴x²+（2y）²=4．…（3分）
∴曲線C的方程為

x2

4

+y2=1．…（4分）
解法2：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是（x，y），點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x₀，y₀），
由

PD

=2

MD

得，x₀=x，y₀=2y．…（1分）
∵點(diǎn)P（x₀，y₀）在圓x²+y²=4上，∴x02+y02=4．      ①…（2分）
把x₀=x，y₀=2y代入方程①，得x²+4y²=4．…（3分）
∴曲線C的方程為

x2

4

+y2=1．…（4分）
（2）解：∵EA⊥EB，∴

EA

•

EB

=0．…（5分）
∴

EA

•

BA

=

EA

•(

EA

-

EB

)=

EA

2．…（7分）
設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），則

x12

4

+y12=1，即y12=1-

x12

4

．…（8分）
∴

EA

•

BA

=

EA

2=(x1-1)2+y12=x12-2x1+1+1-

x12

4

=

3

4

x12-2x1+2=

3

4

(x1-

4

3

)2+

2

3

．…（10分）
∵點(diǎn)A（x₁，y₁）在曲線C上，
∴-2≤x₁≤2．…（11分）
∴

2

3

≤

3

4

(x1-

4

3

)2+

2

3

≤9．…（13分）
∴

EA

•

BA

的取值范圍為[

2

3

，9]．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量與橢圓的位置關(guān)系，向量在幾何中的應(yīng)用，考查基本知識(shí)的應(yīng)用，分析問題解決問題的能力．