Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn)．已知PA⊥AC，PA=AB=6，BC=8，DF=5．
（1）若PB⊥BC，證明平面BDE⊥平面ABC．
（2）求直線BD與平面ABC所成角的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知得DE⊥AC，DE²+EF²=DF²，從而DE⊥平面ABC，由此能證明平面BDE⊥平面ABC．
（2）由DE⊥平面ABC，得∠DBE是直線BD與平面ABC所成的角，由此能求出直線BD與平面ABC所成角的正切值．

解答： （1）證明：∵在三棱錐P-ABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn)．
PA⊥AC，PA=AB=6，BC=8，DF=5，
∴DE⊥AC，DE=3，EF=4，DF=5，
∴DE²+EF²=DF²，∴DE⊥EF，
又EF∩AC=F，∴DE⊥平面ABC，
又DE?平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．
（2）解：∵DE⊥平面ABC，∴PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，
∵PB⊥BC，∴AB⊥BC，
∴AC=

36+64

=10，∴BE=

1

2

AC=5，
由DE⊥平面ABC，得∠DBE是直線BD與平面ABC所成的角，
tan∠DBE=

DE

BE

=

3

5

．
∴直線BD與平面ABC所成角的正切值為

3

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正切值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．