（2000•上海）已知復(fù)數(shù)z0=1-mi（m＞0），z=x+yi和，其中x，y，x'，y'均為實數(shù)，i為虛數(shù)單位，且對于任意復(fù)數(shù)z，有w=
.
z0
•
.
z
，|w|=2|z|．
（Ⅰ）試求m的值，并分別寫出x'和y'用x、y表示的關(guān)系式：
（Ⅱ）將（x、y）用為點P的坐標(biāo)，（x'、y'）作為點Q的坐標(biāo)，上述關(guān)系式可以看作是坐標(biāo)平面上點的一個變換：它將平面上的點P變到這一平面上的點Q．已知點P經(jīng)該變換后得到的點Q的坐標(biāo)為(
3
，2)，試求點P的坐標(biāo)；
（Ⅲ）若直線y=kx上的任一點經(jīng)上述變換后得到的點仍在該直線上，試求k的值．
分析：（I）對式子w=
.
z0
•
.
z
兩邊取模，再由“|w|=2|z|”求出|z0|的值，再求出m的值代入w=
.
z0
•
.
z
，利用共軛復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)乘法運算化簡，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件列出關(guān)系式；
（Ⅱ）把點Q的坐標(biāo)代入（I）所得的關(guān)系式求解即可；
（Ⅲ）設(shè)出直線y=kx上的任意點P（x，y），由（I）求出Q的坐標(biāo)，代入直線方程化簡，并對k進行分類：k=0和k≠0，分別求解并判斷是否是同一條直線．
解答：解：（I）由題設(shè)得，|w|=|
.
z0
•
.
z
|=|z0||z|=2|z|，∴|z0|=2，
由1+m2=4，且m＞0，得m=
3
，∴z0=1-
3
i，
∵w=
.
z0
•
.
z
，
∴x′+y′i=
.
(1-
3
i)
•
.
(x+yi)
)=(1+
3
i)(x-yi)=x+
3
y+(
3
x-y)i，
由復(fù)數(shù)相等得，
x′=x+
3
y
y′=
3
x-y
，
（Ⅱ）由（I）和題意得，
x+
3
y=
3
3
x-y=2
，解得
x=
3
4
3
y=
1
4
  
，
即P點的坐標(biāo)為(
3
4
3
，
1
4
)．                 
（Ⅲ）∵直線y=kx上的任意點P（x，y），
其經(jīng)變換后的點Q(x+
3
y，
3
x-y)仍在該直線上，
∴
3
x-y=k(x+
3
y)，
即(
3
k+1)y=(
3
-k)x
∵當(dāng)k=0時，y=0，y=
3
x不是同一條直線，
∴k≠0，
于是
3
k+1
1
=
3
-k
k
，
即
3
k2+2k-
3
=0，
解得k=
3
3
或k=-
3
點評：本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運算，復(fù)數(shù)的模和幾何意義，復(fù)數(shù)相等充要條件等，以及點與直線問題等，應(yīng)是復(fù)數(shù)中少見的綜合題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2000•上海）已知函數(shù)f(x)=
x2+2x+a
x
，x∈[1，+∞），
（1）若a=
1
2
，求f（x）的最小值；
（2）若對任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2000•上海）已知f（x）=2x+b的反函數(shù)為f-1（x），若y=f-1（x）的圖象經(jīng)過點P（5，2），則b的值是
1
1
．

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（2000•上海）根據(jù)指令（r，θ）（r≥0，-180°＜θ≤180°），機器人在平面上能完成下列動作：先原地旋轉(zhuǎn)角度θ（θ為正時，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)θ，θ為負時，按順時針方向旋轉(zhuǎn)-θ），再朝其面對的方向沿直線行走距離r．
（Ⅰ）現(xiàn)機器人在直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點，且面對x軸正方向，試給機器人下一個指令，使其移動到點（4，4）．
（Ⅱ）機器人在完成該指令后，發(fā)現(xiàn)在點（17，0）處有一小球正向坐標(biāo)原點作勻速直線滾動，已知小球滾動的速度為機器人直線行走速度的2倍，若忽略機器人原地旋轉(zhuǎn)所需的時間，問機器人最快可在何處截住小球？并給出機器人截住小球所需的指令（結(jié)果精確到小數(shù)點后兩位）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2000•上海）已知復(fù)數(shù)z0=1-mi（m＞0），z=x+yi和w=x'+y'i，其中x，y，x'，y'均為實數(shù)，i為虛數(shù)單位，且對于任意復(fù)數(shù)z，有w=
.
z0
•
.
z
，|w|=2|z|．
（Ⅰ）試求m的值，并分別寫出x'和y'用x、y表示的關(guān)系式；
（Ⅱ）將（x、y）作為點P的坐標(biāo)，（x'、y'）作為點Q的坐標(biāo)，上述關(guān)系可以看作是坐標(biāo)平面上點的一個變換：它將平面上的點P變到這一平面上的點Q，當(dāng)點P在直線y=x+1上移動時，試求點P經(jīng)該變換后得到的點Q的軌跡方程；
（Ⅲ）是否存在這樣的直線：它上面的任一點經(jīng)上述變換后得到的點仍在該直線上？若存在，試求出所有這些直線；若不存在，則說明理由．

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