Question

【題目】已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn).

（1）求的取值范圍；

（2）設(shè)，是的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）的定義域?yàn)?/span>，，設(shè)，則由題意得在內(nèi)有兩個(gè)不等零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求出，推導(dǎo)出在和內(nèi)分別存在一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，由此能求出的取值范圍；

（2）的極值點(diǎn)，就是的零點(diǎn)，即，推導(dǎo)出，，設(shè)，，再求導(dǎo)，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明，即．

解：（1）由，，得.

函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，

等價(jià)于在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn).

令，則.

所以時(shí)，，單調(diào)遞增；

時(shí)，，單調(diào)遞減，所以.

當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞減，不可能有兩個(gè)極值點(diǎn)，舍去；

當(dāng)時(shí)，，，，，而，

由零點(diǎn)存在性定理得在和內(nèi)分別存在一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，此時(shí)有兩個(gè)極值點(diǎn).

綜上，所以求的取值范圍為.

（2）因?yàn)?/span>，是的兩個(gè)極值點(diǎn)，所以，且.

由（1）知，.

令，.

則，

由在恒成立，得時(shí)，，單調(diào)遞減.

又，所以時(shí)，，即.

所以，所以.

由（1）知在單調(diào)遞減，

所以，即.

所以，即，

因?yàn)?/span>，所以，所以.

即.