Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-e^-x（x∈R），不等式e^t•f（2t）-mf（t）＜0對(duì)于t∈（0，1）恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

 

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Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，將不等式轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值恒成立問(wèn)題，即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵f（x）=e^x-e^-x（x∈R），
∴f（2x）=e^2x-e^-2x（x∈R），
則不等式e^t•f（2t）-mf（t）＜0等價(jià)為
e^t•（e^2t-e^-2t）-m（e^t-e^-t）＜0，
即e^t•（e^t-e^-t）（e^t+e^-t）＜m（e^t-e^-t），
當(dāng)t∈（0，1）時(shí)，e^t-e^-t＞0，
∴不等式等價(jià)為e^t•（e^t+e^-t）＜m，
即e^2t+1＜m在t∈（0，1）恒成立，
即（e^2t+1）_max＜m，
當(dāng)t∈（0，1）時(shí)，e^2t+1∈（2，e²+1），
∴m≥e²+1，
故答案為：[e²+1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算，以及根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決不等式恒成立問(wèn)題，考查學(xué)生的計(jì)算能力．