Question

（2008•黃岡模擬）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是a的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=2AB
（1）求證：平面PAC⊥平面PBD；
（2）求二面角B-PC-D的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由已知中底面ABCD是a的正方形，PA⊥平面ABCD，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可得PA⊥BD，AC⊥BD，再由線面垂直的判定定理可得BD⊥平面PAC，最后由面面垂直的判定定理得到平面PAC⊥平面PBD；
（2）在平面BCP內(nèi)作BN⊥PC垂足為N，連DN，可得∠BND為二面角B-PC-D的平面角，解△BND，即可得到二面角B-PC-D的余弦值．

解答：證明：（1）∵PA⊥平面ABCD∴PA⊥BD
∵ABCD為正方形∴AC⊥BD
∴BD⊥平面PAC
又BD在平面BPD內(nèi)，
∴平面PAC⊥平面BPD      （6分）

解：（2）在平面BCP內(nèi)作BN⊥PC垂足為N，連DN，
∵Rt△PBC≌Rt△PDC，由BN⊥PC得DN⊥PC；
∴∠BND為二面角B-PC-D的平面角，
在△BND中，BN=DN=

5

6

a，BD=

2

a
∴cos∠BND=

5 6 a2+ 5 6 a2-2a2

5 3 a2

=-

1

5

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，平面與平面垂直的判定，其中（1）的關鍵是熟練掌握線線垂直，線面垂直及面面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化，（2）的關鍵是證得∠BND為二面角B-PC-D的平面角．