Question

若直線(xiàn)y=k（x-2）+1與曲線(xiàn)y=-

1-x2

有兩上不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是（　�。�

• A．[1，

  4

  3

  ]
• B．[1，

  4

  3

  )
• C．(

  3

  4

  ，1]
• D．(0，

  4

  3

  )

Answer 1

分析：要求直線(xiàn)y=k（x-2）+1斜率的取值范圍，方法為：曲線(xiàn)y=-

1-x2

表示以（0，0）為圓心，1為半徑的半圓，在坐標(biāo)系中畫(huà)出相應(yīng)的圖形，直線(xiàn)y=k（x-2）+1與半圓有不同的交點(diǎn)，故抓住兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：當(dāng)直線(xiàn)y=k（x-2）+1與半圓相切時(shí)，圓心到直線(xiàn)的距離等于圓的半徑，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值；當(dāng)直線(xiàn)y=k（x-2）+1過(guò)B點(diǎn)時(shí)，由A和B的坐標(biāo)求出此時(shí)直線(xiàn)l的斜率，根據(jù)兩種情況求出的斜率得出k的取值范圍．

解答：解：∵直線(xiàn)y=k（x-2）+1是過(guò)A（2，1）的直線(xiàn)，
曲線(xiàn)y=-

1-x2

是圓心在原點(diǎn)，半徑為1，y≤0的半圓，
∴作出如圖圖形：
當(dāng)直線(xiàn)y=k（x-2）+1與半圓相切，C為切點(diǎn)時(shí)，圓心到直線(xiàn)l的距離d=r，
即

|k×0-0-2k+1|

k2+1

=1，
解得：k=

4

3

；
當(dāng)直線(xiàn)y=k（x-2）+1過(guò)B（1，0）點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)l的斜率k=

1-0

2-1

=1，
∵直線(xiàn)y=k（x-2）+1與曲線(xiàn)y=-

1-x2

有兩上不同的交點(diǎn)，
∴k的取值范圍是[1，

4

3

）．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線(xiàn)與圓相交的性質(zhì)，涉及的知識(shí)有：恒過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)方程，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，以及直線(xiàn)斜率的求法，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，其中抓住兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是解本題的關(guān)鍵．