Question

設(shè)矩陣M=

1 a b 1

．
（I）若a=2，b=3，求矩陣M的逆矩陣M^-1；
（Ⅱ）若曲線C：x²+4xy+2y²=1在矩陣M的作用下變換成曲線C′：x²-2y²=1，求a+b的值．

Answer 1

考點：逆變換與逆矩陣

專題：選作題,矩陣和變換

分析：（I）求出M的行列式，即可求矩陣M的逆矩陣M^-1；
（Ⅱ）確定坐標之間的變換關(guān)系，利用若曲線C：x²+4xy+2y²=1在矩陣M的作用下變換成曲線C′：x²-2y²=1，比較系數(shù)，求出a，b，即可求a+b的值．

解答： 解：（I）當a=2，b=3時，M的行列式det（M）=-5，
故所求的逆矩陣M-1=

- 1 5 2 5 3 5 - 1 5

．…（3分）
（II）設(shè)曲線C上任意一點P（x，y），它在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下得到點P'（x'，y'），則

1 a b 1

x y

=

x′ y′

，即

x+ay=x′ bx+y=y′

又點P'（x'，y'）在曲線C'上，所以x'²-2y'²=1，則（x+ay）²-2（bx+y）²=1，
即（1-2b²）x²+（2a-4b）xy+（a²-2）y²=1為曲線C的方程，…（5分）
又已知曲線C的方程為x²+4xy+2y²=1，
比較系數(shù)可得

1-2b2=1 2a-4b=4 a2-2=2

，解得b=0，a=2，∴a+b=2．…（7分）

點評：本小題主要考查矩陣與變換等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．