如圖，直線l：y=（x-2）和雙曲線C：-=1 （a＞0，b＞0）交于A、B兩點，|AB|=，又l關(guān)于直線l1：y=x對稱的直線l2與x軸平行．
（1）求雙曲線C的離心率；（2）求雙曲線C的方程．

【答案】分析：（1）先設(shè)雙曲線一、三象限漸近線l1：-=0 的傾 斜角為α，根據(jù)l和l2關(guān)于直線l1對稱，又AB：y=（x-2），得出tan2α=  利用二倍角公式求得tanα，從而建立關(guān)于a，c的相等關(guān)系，最后求得雙曲線C的離心率；
（2）設(shè)所求雙曲線的方程，將直線的方程代入雙曲線的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用弦長公式即可求得k值，從而解決問題．
解答：解：（1）設(shè)雙曲線一、三象限漸近線l1：-=0 的傾 斜角為α
∵l和l2關(guān)于直線l1對稱，記它們的交點為P．而l2與x軸平行，
記l2與y軸交點為Q 依題意有∠QPO=∠POM=∠OPM=α（銳角）又AB：y=（x-2），
故tan2α=  則 =，求得tanα=，tanα=-2（舍）
∴=，e2==1+（）2=，因此雙曲線C的離心率 ．
（2）∵=，故設(shè)所求雙曲線方程 -=1 
將 y=（x-2），代入 x2-4y2=4k2，
消去y得：x2-x++k2=0  設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）
|AB|=|x1-x2|=•=，
化簡得到：=，求得k2=1．
故所求雙曲線C的方程為：-y2=1
點評：本小題主要考查雙曲線的標(biāo)準方程、雙曲線的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、方程思想．屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，直線l：y=x+b與拋物線C：x2=4y相切于點A．
（Ⅰ）求實數(shù)b的值；
（Ⅱ）求以點A為圓心，且與拋物線C的準線相切的圓的方程．

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如圖，直線l：y=x+b與拋物線C：x2=4y相切于點A．
（1）求實數(shù)b的值；
（11）求以點A為圓心，且與拋物線C的準線相切的圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•溫州二模）如圖．直線l：y=kx+1與橢圓C1：
x2
16
+
y2
4
=1交于A，C兩點，A．C在x軸兩側(cè)，B，
D是圓C2：x2+y2=16上的兩點．且A與B．C與D的橫坐標(biāo)相同．縱坐標(biāo)同號．
（I）求證：點B縱坐標(biāo)是點A縱坐標(biāo)的2倍，并計算||AB|-|CD||的取值范圍；
（II）試問直線BD是否經(jīng)過一個定點？若是，求出定點的坐標(biāo)：若不是，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•嘉興一模）已知橢圓C：
x22
+y2=1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，O為原點．
（Ⅰ）如圖①，點M為橢圓C上的一點，N是MF1的中點，且NF2丄MF1，求點M到y(tǒng)軸的距離；
（Ⅱ）如圖②，直線l：y=k+m與橢圓C上相交于P，G兩點，若在橢圓C上存在點R，使OPRQ為平行四邊形，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2007•武漢模擬）如圖，直線l：y=
4
3
（x-2）和雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1 （a＞0，b＞0）交于A、B兩點，|AB|=
12
11
，又l關(guān)于直線l1：y=
b
a
x對稱的直線l2與x軸平行．
（1）求雙曲線C的離心率；（2）求雙曲線C的方程．

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