Question

下列命題正確的有

（1）、（2）、（4）

（填上序號）
（1）過兩圓C₁：x²+y²-4=0，C₂：x²+y²-4x+4y-12=0的交點的直線方程是x-y+2=0．
（2）已知實系數(shù)方程f（x）=x²+ax+2b=0的一個根在（0，1）內，另一個根在（1，2）內，則（a-1）²+（b-2）²的取值范圍是（8，17）．
（3）在等比數(shù)列{a_n}中，0＜a₁＜a₄=1，若集合A={n|a₁+a₂+…+a_n-

1

a1

-

1

a2

-…-

1

an

≤0，n∈N^*}，則集合A中有4個元素．
（4）已知△ABC的周長為6，三邊a，b，c成等比數(shù)列，則△ABC的面積的最大值是

3

．

Answer 1

分析：（1）解法一：因為兩圓的交點適合兩圓的方程，所以只要將兩圓的方程相減即可得到過兩圓的交點的直線方程；
解法二：亦可以將兩圓的方程聯(lián)立得到方程組，然后解其方程組得到兩圓的交點，通過兩點式寫出直線方程；
（2）根據(jù)函數(shù)的零點的判定定理及線性規(guī)劃的可行域不難求出；
（3）先根據(jù)等比數(shù)列性質及已知條件將a_n用q來表示，再根據(jù)已知條件得到q＞1，通過計算判斷出當n≤7時皆符合條件，當然此題若用特例去解可簡單一些；
（4）用到等比數(shù)列、余弦定理、正余弦函數(shù)的單調性、基本不等式及三角形的面積公式等綜合知識．（3）、（4）皆有一定的難度．

解答：解答：16（1）（2）（4）
解：（1）解法一：①x²+y²-4=0，②x²+y²-4x+4y-12=0，由①-②即可得過兩圓的交點的直線方程是x-y+2=0．
解法二：聯(lián)立

x2+y2-4=0 x2+y2-4x+4y-12=0

 解得

x=0 y=2

，

x=-2 y=0

 即兩圓的交點的坐標為（0，2），（-2，0），由兩點式得過兩圓的交點的直線的方程是x-y+2=0．
（2）由函數(shù)的零點的判定定理得

f(0)＞0 f(1)＜0 f(2)＞0

 得

b＞0 a+2b+1＜0 a+b+2＞0

由線性規(guī)劃的知識可知其可行域為△ABC內部的點．
再由方程組

b=0 a+2b+1=0

；

a+2b+1=0 a+b+2=0

；

b=0 a+b+2=0

   分別求得點A（-1，0），C（-3，1），B（-2，0）．
易知：|PA|²＜（a-1）²+（b-2）²＜|PC|²⇒8＜（a-1）²+（b-2）²＜17，
故所求的取值范圍是（8，17），因此（2）正確．
（3）設等比數(shù)列{a_n}的公比為q，由等比數(shù)列性質可知：a_n=a₄q^n-4=q^n-4，
∵0＜a₁＜a₄=1，∴0＜a₁＜1，∴q³＞1，∴q＞1，
∴a₁-

1

a1

=

1

q3

-q³＜0；
 同理 a₂-

1

a2

＜0，a₃-

1

a3

＜0，a₄-

1

a4

=0；
當n≥5時，a_n-

1

an

=q^n-4-

1

qn-4

＞0；
又（a₁-

1

a1

 ）+（a₇-

1

a7

）=（a₂-

1

a2

）+（a₆-

1

a6

）=（a₃-

1

a3

）+（a₅-

1

a5

）=0，
a₄-

1

a4

=0；
當n≥8時，a₁+a₂+…+a_n-

1

a1

-

1

a2

-…-

1

an

=[（a₁-

1

a1

 ）+（a₇-

1

a7

）]+[（a₂-

1

a2

）+（a₆-

1

a6

）]+[（a₃-

1

a3

）+（a₅-

1

a5

）]+
  （a₄-

1

a4

）+（a₈-

1

a8

）+…+（a_n-

1

an

）
=（a₈-

1

a8

）+…+（a_n-

1

an

）＞0
故當n≤7時，滿足集合所給的條件，所以集合A有7個元素．
或用特例法求解如取a_n=2^n-4．
故（3）不正確．
（4）：由題意有a+b+c=6，b²=ac．
在△ABC中，由余弦定理及基本不等式得
cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，
又∵0＜B＜π，∴0＜B≤

π

3

．
又b=

ac

≤

a+c

2

=

6-b

2

，
解得0＜b≤2．
從而，S_△=

1

2

acsinB=

1

2

b2sinB≤

1

2

×22sin

π

3

=

3

．
即三角形為正三角形時，面積最大值為：Smax=

3

．

點評：此題考查的知識及方法比較多，并且需要有一定的邏輯思維能力及較強的計算能力，作為一個填空題在短時間內不容易做正確．