Question

ABCD為直角梯形，∠BCD＝∠CDA＝90°，AD＝2BC＝2CD，P為平面ABCD外一點，且PB⊥BD.
(1)求證：PA⊥BD；
(2)若PC與CD不垂直，求證：PA≠PD.

Answer 1

（1）見解析（2）見解析

(1)因為ABCD為直角梯形，AD＝AB＝BD，
所以AD²＝AB²＋BD²，因此AB⊥BD.
又PB⊥BD，AB∩PB＝B，AB，PB平面PAB，
所以BD⊥平面PAB，
又PA平面PAB，所以PA⊥BD.
(2)假設PA＝PD，取AD中點N，連結PN、BN，
則PN⊥AD，BN⊥AD，且PN∩BN＝N，
所以AD⊥平面PNB，得PB⊥AD.
又PB⊥BD，且AD∩BD＝D，得PB⊥平面ABCD，所以PB⊥CD.又因為BC⊥CD，且PB∩BC＝B，所以CD⊥平面PBC，所以CD⊥PC，與已知條件PC與CD不垂直矛盾，所以PA≠PD.