Question

已知橢圓C₁的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，離心率為e=，點P為橢圓上一動點，點F₁、F₂分別為橢圓的左、右焦點，且△PF₁F₂面積的最大值為．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設(shè)橢圓短軸的上端點為A，點M為動點，且||²，•，•成等差數(shù)列，求動點M的軌跡C₂的方程．

Answer 1

解：（1）設(shè)橢圓C₁的方程為+=1（a＞b＞0），c=，則=，所以a=2b、
由橢圓的幾何性質(zhì)知，當點P為橢圓的短軸端點時，
△PF₁F₂的面積最大，故|F₁F₂|b=bc=，
解得a=2，b=1．
故所求橢圓方程為+y²=1．
（2）由（1）知A（0，1），F(xiàn)₁（-，0），F(xiàn)₂（，0），
設(shè)M（x，y），則=（-，1），=（x-，y），=（x，y-1），=（-，-1）．
由已知條件得x（x-）+y（y-1）=-x-y，整理，得M的軌跡C₂的方程為x²+y²=．
分析：（1）設(shè)出橢圓的方程，利用離心率和a，b與c的關(guān)系求得a和b的關(guān)系，根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)知，當點P為橢圓的短軸端點時，△PF₁F₂的面積最大，進而求得bc的關(guān)系，最后聯(lián)立求得a和b，則橢圓的方程可得．
（2）根據(jù)（1）中的方程求得A和兩焦點坐標，設(shè)出M的坐標，利用，，，根據(jù)已知條件求得x和y的關(guān)系，點M的軌跡方程可得．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了基礎(chǔ)知識的整體把握和綜合運用．