Question

已知sinα+sinβ+sinγ=0，cosα+cosβ+cosγ=0．
（1）求cos（α-β）的值；
（2）若α，β，γ∈[0，

4π

3

]，求sin（α+β+γ）的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意sinα+sinβ=-sinγ，cosα+cosβ=-cosγ，代入，（sinα+sinβ）²+（cosα+cosβ）²=1，求得2+2cos（α-β）=1，進(jìn)而求得cos（α-β）的值．
（2）根據(jù)（1）可求得cos（β-γ）的值，和cos（α-γ）的值，設(shè)

4π

3

≥α＞β＞γ≥0，進(jìn)而可知α-γ，α-β，β-γ的值假設(shè)γ＞0，則可知α=

4π

3

+γ＞

4π

3

不符合題意，進(jìn)而推斷γ=0則α，β可求，進(jìn)而求得sin（α+β+γ）．

解答：解：（1）sinα+sinβ=-sinγ，cosα+cosβ=-cosγ，
（sinα+sinβ）²+（cosα+cosβ）²=1，2+2cos（α-β）=1，
∴cos(α-β)=-

1

2

．

（2）由（1）同理得cos(β-γ)=-

1

2

，cos(α-γ)=-

1

2

，
∵α，β，γ∈[0，

4π

3

]，由對(duì)稱(chēng)性，不防設(shè)

4π

3

≥α＞β＞γ≥0，
則0＜α-β＜

4π

3

，0＜β-γ＜

4π

3

，0＜α-γ≤

4π

3

，
又由（1）知α-β=

2π

3

，β-γ=

2π

3

，α-γ=

4π

3

，若γ＞0，則α=

4π

3

+γ＞

4π

3

矛盾！
∴γ=0，有β=

2π

3

，α=

4π

3

，
∴sin（α+β+γ）=sin2π=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用．要熟練掌握三角函數(shù)中倒數(shù)關(guān)系，平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系．