Question

求函數(shù)f（x）=

x2-2x-3

2x2+2x+1

的最大值和最小值．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：將函數(shù)y=f（x）=

x2-2x-3

2x2+2x+1

變形為（2y-1）x²+（2y+2）x+y+3=0，由于分母2x²+2x+1=2(x+

1

2

)2+

1

2

＞0，可得函數(shù)f（x）的定義域為R．對y分類討論：當y=

1

2

時，原式變?yōu)?x=-7，可得得x=-

7

6

．當y≠

1

2

時，上式對于任意實數(shù)x都成立，可得△=（2y+2）²-4（2y-1）（y+3）≥0，解出即可．

解答： 解：將函數(shù)y=f（x）=

x2-2x-3

2x2+2x+1

變形為（2y-1）x²+（2y+2）x+y+3=0，
∵分母2x²+2x+1=2(x+

1

2

)2+

1

2

＞0，∴函數(shù)f（x）的定義域為R．
①當y=

1

2

時，原式變?yōu)?x=-7，解得x=-

7

6

．因此y=

1

2

也滿足題意．
②當y≠

1

2

時，上式對于任意實數(shù)x都成立，因此△=（2y+2）²-4（2y-1）（y+3）≥0，
化為y²+3y-4≤0，
解得-4≤y≤1，且y≠

1

2

．
綜上可知：-4≤y≤1．
當x=-2時，函數(shù)f（x）取得最大值1；
當x=-

1

3

時，函數(shù)f（x）取得最小值-4．

點評：本題考查了利用“判別式法”求分式類型函數(shù)的最值，考查了推理能力和計算能力，考查了分類討論的思想方法，屬于難題．