Question

【題目】已知圓，直線，動(dòng)圓P與圓M相外切，且與直線l相切.設(shè)動(dòng)圓圓心P的軌跡為E.

（1）求E的方程；

（2）若點(diǎn)A，B是E上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求證：直線AB恒過定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）； （2）見解析

【解析】

（1）由拋物線定義可知?jiǎng)訄A的圓心軌跡為拋物線,根據(jù)焦點(diǎn)及準(zhǔn)線方程可求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）設(shè)出直線AB的方程,聯(lián)立拋物線,化簡(jiǎn)后結(jié)合韋達(dá)定理,表示出,根據(jù)等量關(guān)系可求得直線方程的截距,即可求得所過定點(diǎn)的坐標(biāo).

（1）由題意動(dòng)圓P與相切,且與定圓外切

所以動(dòng)點(diǎn)P到的距離與到直線的距離相等

由拋物線的定義知,點(diǎn)P的軌跡是以為焦點(diǎn),直線為準(zhǔn)線的拋物線

故所求P的軌跡方程E為

（2）證明：設(shè)直線,,,

將直線AB代入到中化簡(jiǎn)得,

所以,

又因?yàn)?/span>

所以

則直線AB為恒過定點(diǎn)