【題目】已知函數(shù)).

(Ⅰ)若方程有兩根,求的取值范圍;

(Ⅱ)在(Ⅰ)的前提下,設(shè),求證: 隨著的減小而增大;

(Ⅲ)若不等式恒成立,求證: ).

【答案】(Ⅰ).(Ⅱ)見解析; (Ⅲ)見解析.

【解析】試題分析:(Ⅰ)由,有,設(shè),求得的單調(diào)性,進(jìn)而由方程,求解實(shí)數(shù)的取值范圍;

(Ⅱ)由題意 ,推得進(jìn)而得到,即可得到隨著的減小而增大.

(Ⅲ)依題意, 恒成立,記,則,

分類討論得到函數(shù)的最小值, ,設(shè),利用函數(shù)的性質(zhì),即可求得結(jié)論.

試題解析:(Ⅰ)由,有,

設(shè),由,

上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,又, .當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí),

故若方程有兩根,則

(Ⅱ)故若方程有兩根,則

假設(shè)對(duì)于任意的.記,由上可知;記,由上可知

因?yàn)?/span>上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,故由可知,

又因?yàn)?/span> ,所以,故隨著的減小而增大.

(Ⅲ)依題意, 恒成立,記,則

①當(dāng)時(shí), 恒成立,故單調(diào)遞減,又因?yàn)?/span>,所以上函數(shù)值小于零,不符合題意,舍去.

②當(dāng)時(shí),

小于0

大于0

單調(diào)遞減

單調(diào)遞增

由上表可知上的

,由可知, 單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,故,綜上,即

可得),兩邊乘以可得,即

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纖維長(zhǎng)度

甲地(根數(shù))

3

4

4

5

4

乙地(根數(shù))

1

1

2

10

6

(1)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),填寫下面列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)0.025的前提下認(rèn)為“纖維長(zhǎng)度與土壤環(huán)境有關(guān)系”.

甲地

乙地

總計(jì)

長(zhǎng)纖維

短纖維

總計(jì)

附:(1);

(2)臨界值表;

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

(2)現(xiàn)從上述40根纖維中,按纖維長(zhǎng)度是否為“長(zhǎng)纖維”還是“短纖維”采用分層抽樣的方法抽取8根進(jìn)行檢測(cè),在這8根纖維中,記乙地“短纖維”的根數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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(Ⅰ)求;

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2)若射線與曲線,的交點(diǎn)分別為 (異于原點(diǎn)). 當(dāng)斜率時(shí), 的取值范圍.

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