如圖，橢圓C：(a＞b＞0)的離心率為，其左焦點到點P(2，1)的距離為．不過原點O的直線l與C相交于A，B兩點，且線段AB被直線OP平分．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ) 求ABP的面積取最大時直線l的方程．

 

【答案】

(Ⅰ) ；(Ⅱ)．

【解析】(Ⅰ)由題：； (1)

左焦點(﹣c，0)到點P(2，1)的距離為：． (2)

由(1) (2)可解得：．∴所求橢圓C的方程為：．

(Ⅱ)易得直線OP的方程：y＝x，設A(xA，yA)，B(xB，yB)，R(x0，y0)．其中y0＝x0．

∵A，B在橢圓上，

∴．

設直線AB的方程為l：y＝﹣(m≠0)，

代入橢圓：．

顯然．

∴﹣＜m＜且m≠0．

由上又有：＝m，＝．

∴|AB|＝||＝＝．

∵點P(2，1)到直線l的距離為：．

∴SABP＝d|AB|＝，其中﹣＜m＜且m≠0．

利用導數(shù)解：令，

則

當m＝時，有(SABP)max．

此時直線l的方程

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，橢圓C：
x2
a2
+
y2
a2-1
=1的左右頂點分別為A、B，左右焦點分別為F1、F2，P為以F1、F2為直徑的圓上異于F1、F2的動點，直線PF1、PF2分別交橢圓C于M、N和D、E．
（1）證明：
AP
•
BP
為定值K；
（2）當K=-2時，問是否存在點P，使得四邊形DMEN的面積最小，若存在，求出最小值和P坐標，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試浙江卷數(shù)學理科 題型：044

如圖，橢圓C：(a＞b＞0)的離心率為，其左焦點到點P(2，1)的距離為．不過原點O的直線l與C相交于A，B兩點，且線段AB被直線OP平分．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)求△ABP的面積取最大時直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，橢圓C：(a＞b＞0)的離心率為，其左焦點到點P(2，1)的距離為．不過原點O的直線l與C相交于A，B兩點，且線段AB被直線OP平分．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ) 求ABP的面積取最大時直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

 (2012年高考浙江卷理科21) (本小題滿分15分)如圖，橢圓C：(a＞b＞0)的離心率為，其左焦點到點P(2，1)的距離為．不過原點O的直線l與C相交于A，B兩點，且線段AB被直線OP平分．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ) 求ABP的面積取最大時直線l的方程．

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