如圖,橢圓C:(a>b>0)的離心率為,其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P(2,1)的距離為.不過(guò)原點(diǎn)O的直線l與C相交于A,B兩點(diǎn),且線段AB被直線OP平分.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ) 求ABP的面積取最大時(shí)直線l的方程.
【解析】
(Ⅰ)由題:; (1)
左焦點(diǎn)(﹣c,0)到點(diǎn)P(2,1)的距離為:. (2)
由(1) (2)可解得:.
∴所求橢圓C的方程為:.
(Ⅱ)易得直線OP的方程:y=x,設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),R(x0,y0).其中y0=x0.
∵A,B在橢圓上,
∴.
設(shè)直線AB的方程為l:y=﹣(m≠0),
代入橢圓:.
顯然.
∴﹣<m<且m≠0.
由上又有:=m,=.
∴|AB|=||==.
∵點(diǎn)P(2,1)到直線l的距離為:.
∴SABP=d|AB|=|m+2|,
當(dāng)|m+2|=,即m=﹣3 or m=0(舍去)時(shí),(SABP)max=.
此時(shí)直線l的方程y=﹣.
【答案】 (Ⅰ) ;(Ⅱ) y=﹣.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
x2 |
a2 |
y2 |
a2-1 |
AP |
BP |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試浙江卷數(shù)學(xué)理科 題型:044
如圖,橢圓C:(a>b>0)的離心率為,其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P(2,1)的距離為.不過(guò)原點(diǎn)O的直線l與C相交于A,B兩點(diǎn),且線段AB被直線OP平分.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)求△ABP的面積取最大時(shí)直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)(浙江卷解析版) 題型:解答題
如圖,橢圓C:(a>b>0)的離心率為,其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P(2,1)的距離為.不過(guò)原點(diǎn)O的直線l與C相交于A,B兩點(diǎn),且線段AB被直線OP平分.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ) 求ABP的面積取最大時(shí)直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
(2012年高考浙江卷理科21) (本小題滿分15分)如圖,橢圓C:(a>b>0)的離心率為,其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P(2,1)的距離為.不過(guò)原點(diǎn)O的直線l與C相交于A,B兩點(diǎn),且線段AB被直線OP平分.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ) 求ABP的面積取最大時(shí)直線l的方程.
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