Question

下列說法：
①函數(shù)f（x）=lnx+3x-6的零點(diǎn)只有1個(gè)且屬于區(qū)間（1，2）；
②若關(guān)于x的不等式ax²+2ax+1＞0恒成立，則a∈（0，1）；
③函數(shù)y=x的圖象與函數(shù)y=sinx的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)；
④已知函數(shù)f（x）=log₂

a-x

1+x

為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為1．
正確的有

 

．（請將你認(rèn)為正確的說法的序號都寫上）．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：閱讀型,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：對于①，先判斷函數(shù)f（x在（0，+∞）的單調(diào)性，再求出f（1），f（2）的符號，由零點(diǎn)存在定理，即可得到；
對于②，先考慮a=0，再對a≠0，考慮a＞0，且判別式△＜0，即可判斷；
對于③，令f（x）=x-sinx，且f（0）=0，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，確定f（x）的單調(diào)性，即可判斷；
對于④，運(yùn)用奇函數(shù)的定義，即可得到a的值．

解答： 解：對于①，函數(shù)f（x）=lnx+3x-6在（0，+∞）上是增函數(shù)，
且f（1）=ln1+3×1-6=-3＜0，f（2）=ln2+3×2-6=ln2＞0，由零點(diǎn)存在定理得，①正確．
對于②，當(dāng)a=0時(shí)原不等式變形為1＞0，恒成立；當(dāng)a≠0時(shí)，要使關(guān)于x的不等式ax²+2ax+1＞0恒成立，
則a＞0，且△=（2a）²-4a×1＜0，解得0＜a＜1，綜上可得關(guān)于x的不等式ax²+2ax+1＞0恒成立時(shí)，
a∈[0，1）．故②不正確．
對于③，令f（x）=x-sinx，且f（0）=0，f′（x）=1-cosx≥0，則f（x）在R上遞增，則f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，故③不正確．
對于④，由奇函數(shù)得：f(x)=-f(-x)，log2

a-x

1+x

=-log2

a+x

1-x

，

a-x

1+x

=

1-x

a+x

，即有a²-x²=1-x²，
a²=1，因?yàn)閍≠-1，所以a=1．故④正確．
故答案為：①④．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，考查函數(shù)的奇偶性及運(yùn)用，函數(shù)的零點(diǎn)及圖象的交點(diǎn)問題，注意運(yùn)用零點(diǎn)存在定理和函數(shù)的單調(diào)性解決，屬于中檔題．