將奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)(即(0,0))對(duì)稱這一性質(zhì)進(jìn)行拓廣,有下面的結(jié)論:
①函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)+f(a-x)=2b的充要條件是y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)成中心對(duì)稱.
②函數(shù)y=f(x)滿足F(x)=f(x+a)-f(a)為奇函數(shù)的充要條件是y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,f(a))成中心對(duì)稱(注:若a不屬于x的定義域時(shí),則f(a)不存在).
利用上述結(jié)論完成下列各題:
(1)寫出函數(shù)f(x)=tanx的圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo),并加以證明.
(2)已知m(m≠-1)為實(shí)數(shù),試問函數(shù)f(x)=
x+m
x-1
的圖象是否關(guān)于某一點(diǎn)成中心對(duì)稱?若是,求出對(duì)稱中心的坐標(biāo)并說明理由;若不是,請(qǐng)說明理由.
(3)若函數(shù)f(x)=(x-
2
3
)(|x+t|+|x-3|)-4
的圖象關(guān)于點(diǎn)(
2
3
,f(
2
3
))
成中心對(duì)稱,求t的值.
(1)函數(shù)f(x)=tanx的圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為(
2
,0)
(k∈N*).    …(2分)
當(dāng)k=2n(n∈N*)時(shí),tan(
2
+x)+tan(
2
-x)=tanx-tanx=0
;
當(dāng)k=2n+1(n∈N*)時(shí),tan(
2
+x)+tan(
2
-x)=-cotx+cotx=0
,得證.                   …(6分)
(2)由f(x)=
x+m
x-1
=1+
m+1
x-1
,得f(x)的圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為(1,1).…(9分)f(x+1)+f(1-x)=
x+1+m
x+1-1
+
1-x+m
1-x-1
=
x+1+m
x
+
-x+1+m
-x
=2
,由結(jié)論①得,對(duì)實(shí)數(shù)m(m≠-1),函數(shù)f(x)=
x+m
x-1
的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)成中心對(duì)稱.   …(12分)
(3)由結(jié)論②F(x)=f(x+
2
3
)-f(
2
3
)=x(|x+
2
3
+t|+|x-
7
3
|)
為奇函數(shù),…(14分)
其中g(shù)(x)=x為奇函數(shù),故h(x)=|x+
2
3
+t|+|x-
7
3
|
為偶函數(shù)
于是,由h(x)=h(-x)可得|x+
2
3
+t|+|x-
7
3
|=|x-(
2
3
+t)|+|x+
7
3
|
,…(16分)
因此,
2
3
+t=
7
3
,解得t=
5
3
為所求.                                 …(18分)
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

將下列命題改寫為“若p,則q”的形式.并判斷真假.
(1)偶數(shù)能被2整除;
(2)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;
(3)在同圓或等圓中,同弧或等弧所對(duì)的圓周角不相等.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•盧灣區(qū)一模)將奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)(即(0,0))對(duì)稱這一性質(zhì)進(jìn)行拓廣,有下面的結(jié)論:
①函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)+f(a-x)=2b的充要條件是y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)成中心對(duì)稱.
②函數(shù)y=f(x)滿足F(x)=f(x+a)-f(a)為奇函數(shù)的充要條件是y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,f(a))成中心對(duì)稱(注:若a不屬于x的定義域時(shí),則f(a)不存在).
利用上述結(jié)論完成下列各題:
(1)寫出函數(shù)f(x)=tanx的圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo),并加以證明.
(2)已知m(m≠-1)為實(shí)數(shù),試問函數(shù)f(x)=
x+m
x-1
的圖象是否關(guān)于某一點(diǎn)成中心對(duì)稱?若是,求出對(duì)稱中心的坐標(biāo)并說明理由;若不是,請(qǐng)說明理由.
(3)若函數(shù)f(x)=(x-
2
3
)(|x+t|+|x-3|)-4
的圖象關(guān)于點(diǎn)(
2
3
,f(
2
3
))
成中心對(duì)稱,求t的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

將奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)(即(0,0))對(duì)稱這一性質(zhì)進(jìn)行拓廣,有下面的結(jié)論:
①函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)+f(a-x)=2b的充要條件是y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)成中心對(duì)稱.
②函數(shù)y=f(x)滿足F(x)=f(x+a)-f(a)為奇函數(shù)的充要條件是y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,f(a))成中心對(duì)稱(注:若a不屬于x的定義域時(shí),則f(a)不存在).
利用上述結(jié)論完成下列各題:
(1)寫出函數(shù)f(x)=tanx的圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo),并加以證明.
(2)已知m(m≠-1)為實(shí)數(shù),試問函數(shù)數(shù)學(xué)公式的圖象是否關(guān)于某一點(diǎn)成中心對(duì)稱?若是,求出對(duì)稱中心的坐標(biāo)并說明理由;若不是,請(qǐng)說明理由.
(3)若函數(shù)數(shù)學(xué)公式的圖象關(guān)于點(diǎn)數(shù)學(xué)公式成中心對(duì)稱,求t的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年上海市盧灣區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷(文理合卷)(解析版) 題型:解答題

將奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)(即(0,0))對(duì)稱這一性質(zhì)進(jìn)行拓廣,有下面的結(jié)論:
①函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)+f(a-x)=2b的充要條件是y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)成中心對(duì)稱.
②函數(shù)y=f(x)滿足F(x)=f(x+a)-f(a)為奇函數(shù)的充要條件是y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,f(a))成中心對(duì)稱(注:若a不屬于x的定義域時(shí),則f(a)不存在).
利用上述結(jié)論完成下列各題:
(1)寫出函數(shù)f(x)=tanx的圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo),并加以證明.
(2)已知m(m≠-1)為實(shí)數(shù),試問函數(shù)的圖象是否關(guān)于某一點(diǎn)成中心對(duì)稱?若是,求出對(duì)稱中心的坐標(biāo)并說明理由;若不是,請(qǐng)說明理由.
(3)若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱,求t的值.

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