Question

將奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)（即（0，0））對(duì)稱這一性質(zhì)進(jìn)行拓廣，有下面的結(jié)論：
①函數(shù)y=f（x）滿足f（a+x）+f（a-x）=2b的充要條件是y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，b）成中心對(duì)稱．
②函數(shù)y=f（x）滿足F（x）=f（x+a）-f（a）為奇函數(shù)的充要條件是y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，f（a））成中心對(duì)稱（注：若a不屬于x的定義域時(shí)，則f（a）不存在）．
利用上述結(jié)論完成下列各題：
（1）寫出函數(shù)f（x）=tanx的圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)，并加以證明．
（2）已知m（m≠-1）為實(shí)數(shù)，試問函數(shù)的圖象是否關(guān)于某一點(diǎn)成中心對(duì)稱？若是，求出對(duì)稱中心的坐標(biāo)并說明理由；若不是，請(qǐng)說明理由．
（3）若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，求t的值．

Answer 1

解：（1）函數(shù)f（x）=tanx的圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為（k∈N^*）． …（2分）
當(dāng)k=2n（n∈N^*）時(shí)，；
當(dāng)k=2n+1（n∈N^*）時(shí)，，得證． …（6分）
（2）由，得f（x）的圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為（1，1）．…（9分），由結(jié)論①得，對(duì)實(shí)數(shù)m（m≠-1），函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，1）成中心對(duì)稱． …（12分）
（3）由結(jié)論②為奇函數(shù)，…（14分）
其中g(shù)（x）=x為奇函數(shù)，故為偶函數(shù)
于是，由h（x）=h（-x）可得，…（16分）
因此，，解得為所求． …（18分）
分析：（1）根據(jù)正切函數(shù)圖象觀察出圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為再利用①進(jìn)行證明．
（2）將函數(shù)化成，據(jù)其簡(jiǎn)圖可知對(duì)稱中心的坐標(biāo)為（1，1）．再利用②進(jìn)行證明．
（3）若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，則）由結(jié)論②為奇函數(shù)，從而轉(zhuǎn)化為，求t的取值即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查閱讀理解、分析解決問題、轉(zhuǎn)化、計(jì)算的能力．用到的知識(shí)有三角函數(shù)圖象的對(duì)稱中心，分式函數(shù)的對(duì)稱中心，函數(shù)的奇偶性判斷．三角函數(shù)誘導(dǎo)公式．