Question

已知函數(shù)和點(diǎn)P(1，0)，過(guò)點(diǎn)P作曲線y＝f(x)的兩條切線PM、PN，切點(diǎn)分別為M、N．

(1)設(shè)，試求函數(shù)g(t)的表達(dá)式；

(2)是否存在t，使得M、N與A(0，1)三點(diǎn)共線．若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

(3)在(1)的條件下，若對(duì)任意的正整數(shù)n，在區(qū)間內(nèi)總存在m+1個(gè)實(shí)數(shù)，使得不等式成立，求m的最大值．

Answer 1

解：（1）設(shè)M、N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，

        ∵，∴切線PM的方程為：

        又∵切線PM過(guò)點(diǎn)P（1，0），∴有0－

        即，     ①

        同理，由切線PN也過(guò)點(diǎn)P（1，0），∴     ②

        由①、②，可得是方程的兩根，

        ∴    ③

        ，

把③式代入，得

由此，函數(shù)g(t)的表達(dá)式為.

(2)當(dāng)點(diǎn)M、N與A共線時(shí)，

即，化簡(jiǎn)，得

∵     ④

把③式代入④，解得t=.

∴存在t，使得點(diǎn)M、N與A三點(diǎn)共線，且t=.

(3)解法1：易知g(t)在區(qū)間上為增函數(shù)，

 ∴

則.

依題意，不等式對(duì)一切的正整數(shù)n恒成立.

∵

∴.

由于m為正整數(shù)，∴

又當(dāng)時(shí)，存在，對(duì)所有的n滿足條件.

因此，m的最大值為6.

解法2：依題意，當(dāng)區(qū)間的長(zhǎng)度最小時(shí)，得到的m最大值，即是所求值.

∵，∴長(zhǎng)度最小的區(qū)間為[2,16],

當(dāng)時(shí)，與解法1相同分析，得

解得   

后面解題步驟與解法1相同（略）