Question

已知函數.

（1）當時，求函數在上的最大值；

（2）令，若在區(qū)間上不單調，求的取值范圍；

（3）當時，函數的圖像與x軸交于兩點，且，又是的導函數，若正常數滿足條件.證明：.

 

Answer 1

(1)-1；(2) ；(3)參考解析

【解析】

試題分析：(1)因為函數，當時.求出函數的導數，即可得到上函數的單調性，從而得到函數的最大值.

(2)因為，若在區(qū)間上不單調，即等價于函數在（0，3）上有實數解，且無重根.所以由，分離變量，通過研究函數，的范圍，即可得到取值范圍.

(3)因為當時，函數的圖像與x軸交于兩點，所以可得即可用表示m.又由化簡.可消去m.即可得到關于的代數式，再利用導數知識求出的最值即可得結論.

試題解析：（1）

函數在[,1]是增函數，在[1,2]是減函數，

所以．

（2）因為，所以，

因為在區(qū)間上不單調，所以在（0，3）上有實數解，且無重根，

由，有=，（）

所以

（3）∵，又有兩個實根，

∴，兩式相減，得，

∴,

于是

．

．

要證：，只需證：

只需證：．(*)

令，∴(*)化為 ，只證即可． 在（0，1）上單調遞增，，即．

∴．

考點：1.函數的最值.2.函數的單調性的應用.3.等價變換數學思想.4.換元的數學思想.5.運算量較大屬于有難度題型.