已知a，b，c都是實(shí)數(shù)，證明ac＜0是關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的充要條件．
考點(diǎn)：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系,必要條件、充分條件與充要條件的判斷
專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析：利用韋達(dá)定理和根與系數(shù)的關(guān)系先判斷出前者成立能推出后者成立，反之后者成立能推出前者成立，利用充要條件的定義得到結(jié)論．
解答： 解：證明：若ac＜0成立，則關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0的判別式△=b2-4ac＞0，且兩根之積
c
a
＜0，
故關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根成立，即充分性成立．
反之，若關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根成立，則兩根之積
c
a
＜0，
∴ac＜0成立，即必要性成立．
綜上可得，ac＜0是關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的充要條件．
點(diǎn)評：本題考查了一元二次方程根的判別式的應(yīng)用以及一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，本題解題的關(guān)鍵是正確應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系來說明根的情況，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

桌面上有形狀大小相同的白球、紅球、黃球各3個(gè)，相同顏色的球不加以區(qū)分，將此9個(gè)球排成一排共有
 
 種不同的排法．（用數(shù)字作答）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，左頂點(diǎn)為A，若|F1F2|=2，橢圓的離心率為e=
1
2

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）若P是橢圓上的任意一點(diǎn)，求
PF1
•
PA
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在如圖所示的幾何體中，面CDEF為正方形，面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AC=
3
，AB=2BC=2，AC⊥FB． 
（Ⅰ）求證：AC⊥平面FBC；
（Ⅱ）求該幾何體的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長2正三角形，側(cè)棱與底面垂直，且長為
3
，D是AC的中點(diǎn)．
（1）求證：B1C∥平面A1BD；
（2）求直線1C與平面ABB1A1所成角的正弦值；
（3）在線段AA1上是否存在一點(diǎn)E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD，若存在，求出AE的長；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（2x-1）=4x2-2x，x∈（-
1
2
，2），求函數(shù)f（x）的解析式，定義域及值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)不等式|x+1|+|x-1|≤2的解集為M．
（Ⅰ）求集合M；
（Ⅱ）若x∈M，|y|≤
1
6
，|z|≤
1
9
，求證：|x+2y-3z|≤
5
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，C=
π
3
，b=5，△ABC的面積為10
3
．
（1）求a，c的值；  
（2）求sin（A+
π
3
）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)f（x）=x-x2，求函數(shù)f（x）的解析式并作圖指出其單調(diào)區(qū)間．

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同步練習(xí)冊答案