Question

已知函數(shù)的圖象經(jīng)過（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，e≈2.71）．
（Ⅰ）求實數(shù)a；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）證明：對于任意的n∈N*，都有成立．

Answer 1

（Ⅰ）解：由y=f（x）的圖象過點得，所以a=1．         
（Ⅱ）解：求導(dǎo)數(shù)可得：
由x＞1知，
令g（x）=x-lnx，則，故g（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，當x＞1時，g（x）=x-lnx＞g（1）＞0
令f′（x）=0得x=e，令f′（x）＞0得，x＞e，令f′（x）＜0得1＜x＜e
故f（x）的增區(qū)間為（e，+∞），減區(qū)間為（1，e）．                             
（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）知，f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的最小值為

即當x＞1時，恒成立
當n∈N^*時，令x=eⁿ≥e＞1，則有，即
故成立．                      

分析：（Ⅰ）利用函數(shù)y=f（x）的圖象過點，建立方程，即可求得實數(shù)a；
（Ⅱ）求導(dǎo)數(shù)，求得f′（x）=0時，x=e，從而由導(dǎo)數(shù)的正負，可得f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的最小值為，從而可得當x＞1時，恒成立，當n∈N^*時，令x=eⁿ≥e＞1，則有，由此可證結(jié)論．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，求得函數(shù)的單調(diào)性，確定最值是關(guān)鍵．