在Rt△ABC中，AB=2，AC=4，∠A為直角，P為AB中點(diǎn)，M、N分別是BC，AC上任一點(diǎn)，則△MNP周長(zhǎng)的最小值是
 
．
考點(diǎn)：兩點(diǎn)間的距離公式
專(zhuān)題：直線與圓
分析：如圖所示．建立直角坐標(biāo)系．作出點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，考點(diǎn)|PN|=|EN|．作出點(diǎn)P關(guān)于直線BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F．可得|PM|=|MF|，利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得F．于是△MNP周長(zhǎng)l=|PN|+|MN|+|PM|=|EN|+|MN|+|MF|．當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)E，N，M，F(xiàn)在同一條直線上△MNP周長(zhǎng)l取得最小值|EF|．再利用兩點(diǎn)間的距離公式可得．
解答： 解：如圖所示．建立直角坐標(biāo)系．
作出點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，則|PN|=|EN|．
∵點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，AB=2．
∴P（1，0），
∴E（-1，0）．
作出點(diǎn)P關(guān)于直線BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F，則|PM|=|MF|．
∵|AC|=4，∴C（0，4）．
∴直線BC的方程為
x
2
+
y
4
=1，化為2x+y=4．
設(shè)F（m，n），則
n-0
m-1
×(-2)=-1
1+m
2
×2+
n+0
2
=4
，解得
m=
13
5
n=
4
5
．
∴F(
13
5
，
4
5
)．
∴△MNP周長(zhǎng)l=|PN|+|MN|+|PM|
=|EN|+|MN|+|MF|．
當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)E，N，M，F(xiàn)在同一條直線上△MNP周長(zhǎng)l取得最小值|EF|．
|EF|=
(-1-
13
5
)2+(
4
5
)2
=
2
85
5
．
故答案為：
2
85
5
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離公式、直線的方程，考查了轉(zhuǎn)化能力和推理能力，屬于難題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知點(diǎn)（
5π
12
，2）在函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜|φ|＜
π
2
）的圖象上，直線x=x1、x=x2是y=f（x）圖象的任意兩條對(duì)稱(chēng)軸，且|x1-x2|的最小值為
π
2
．
（1）求函數(shù)f（x）的單遞增區(qū)間和其圖象的對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)；
（2）設(shè)A={x|
π
4
≤x≤
π
2
}，B={x||f（x）-m|＜1}，若A⊆B，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知
a
=（cosα，sinα），
b
=（2sinβ，2cosβ），且|2k
a
+
b
|=
3
|2
a
-k
b
|（k＞0），設(shè)
a
與
b
的夾角為θ．
（1）求cosθ與k的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)θ取最大值時(shí)，求α，β滿(mǎn)足的關(guān)系式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)θ為第三象限角，試判斷cos
θ
3
的符號(hào)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

計(jì)算圖形：y=x2+1與y=6所圍成的區(qū)域面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f（x）=
(3a-4)x+4a，x＜1
-ax2+2x+3，x≥1
是定義域R上的減函數(shù)，則a的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知集合A={x丨-2≤x≤2，x∈R}，B={x丨x≥a}，且A⊆B，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿(mǎn)足
1
x
+
1
2y
+
3
2xy
=1，R=xy，則以P為圓心R為半徑且面積最小的圓的方程為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知直線l1的斜率為-
2
3
，直線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(1，1)，N(0，-
1
2
)，則兩條直線的位置關(guān)系為（　�。�
A、平行B、相交但不垂直
C、相交且垂直D、以上都不正確

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