Question

在平面直角坐標系xOy中，點A_n滿足，且；點B_n滿足，且，其中n∈N^*．
（1）求的坐標，并證明點A_n在直線y=x+1上；
（2）記四邊形A_nB_nB_n+1A_n+1的面積為a_n，求a_n的表達式；
（3）對于（2）中的a_n，是否存在最小的正整數(shù)P，使得對任意n∈N^*都有a_n＜P成立？若存在，求P的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用向量的運算法則、等差數(shù)列的定義及通項公式即可證明；
（2）利用向量的運算法則和逐差累和即可求得點B_n的坐標，及-即可求出．
（3）利用（2）的結(jié)論及作差法，求出a_n+1-a_n，進而即可判斷出答案．
解答：解：（1）由已知條件得，，=，∴，
∵，∴
設(shè)，則x_n+1-x_n=1，y_n+1-y_n=1
∴x_n=0+（n-1）•1=n-1；y_n=1+（n-1）•1=n．
即A_n=（n-1，n）滿足方程y=x+1，∴點A_n在直線y=x+1上．
（2）由（1）得A_n（n-1，n），，
設(shè)B_n（u_n，v_n），則u₁=3，v₁=0，v_n+1-v_n=0，∴v_n=0，
，逐差累和得，，
∴．
設(shè)直線y=x+1與x軸的交點P（-1，0），則a_n=，n∈N^*．
（3）由（2）a_n=，n∈N^*
，
于是，a₁＜a₂＜a₃＜a₄=a₅，a₅＞a₆＞a₇＞…
數(shù)列{a_n}中項的最大值為，則，即最小的正整數(shù)p的值為6，
所以，存在最小的自然數(shù)p=6，對一切n∈N^*都有a_n＜p成立．
點評：熟練掌握向量的運算法則、等差數(shù)列的定義及通項公式、逐差累和、及利用-求面積和作差法比較數(shù)的大小是解題的關(guān)鍵．