Question

函數(shù)f（a）=（3m-1）a+b-2m，當m∈[0，1]時，0≤f（a）≤1恒成立，則

9a2+b2

ab

的最大值與最小值之和為（　　）

• A、18
• B、16
• C、14
• D、

  49

  4

Answer 1

分析：由條件求得a≤b≤1+a ①，2≤2a+b≤3  ②，把（a，b）看作點畫出可行域，由斜率模型可得1≤

b

a

≤4，令

b

a

=x，
則1≤x≤3，由y=

9

x

+x 在[1，3]上單調遞減，故x=1時，y有最大值為10，x=3時，y有最小值為 6，從而求得最大值與最小值的和．

解答：解：令g（m）=（3a-2）m+b-a． 由題意當m∈[0，1]時，0≤f（a）≤1可得，

0≤g(0)≤1 0≤g(1)≤1

，
∴0≤b-a≤1，0≤2a+b-2≤1．  即 a≤b≤1+a ①，2≤2a+b≤3  ②．
把（a，b）看作點畫出可行域，由斜率模型可得  1≤

b

a

≤4．
又

9a2+b2

ab

=

b

a

+

9a

b

，令

b

a

=x，則 1≤x≤3，∵y=

9

x

+x 在[1，3]上單調遞減，在[3，4]上單調遞增，
∴x=3時，y有最小值為 6，而 x=1時，y=10；x=4時，y=6.25．
故當 x=1時，y 有最大值是10． 故最大值與最小值的和為16．
故選：B．

點評：本題考查函數(shù)的恒成立問題，基本不等式的應用，求出

9a2+b2

ab

的最大值和最小值是解題的難點．