Question

已知A，B，C是橢圓W：

x2

4

+y2=1上的三個點，O是坐標原點．
（Ⅰ）當點B是W的右頂點，且四邊形OABC為菱形時，求此菱形的面積；
（Ⅱ）當點B不是W的頂點時，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說明理由．

Answer 1

（I）

∵四邊形OABC為菱形，B是橢圓的右頂點（2，0）
∴直線AC是BD的垂直平分線，可得AC方程為x=1
設(shè)A（1，t），得

12

4

+t2=1，解之得t=

3

2

（舍負）
∴A的坐標為（1，

3

2

），同理可得C的坐標為（1，-

3

2

）
因此，|AC|=

3

，可得菱形OABC的面積為S=

1

2

|AC|•|B0|=

3

；
（II）∵四邊形OABC為菱形，∴|OA|=|OC|，
設(shè)|OA|=|OC|=r（r＞1），得A、C兩點是圓x²+y²=r²
與橢圓W：

x2

4

+y2=1的公共點，解之得

3x2

4

=r²-1
設(shè)A、C兩點橫坐標分別為x₁、x₂，可得A、C兩點的橫坐標滿足
x₁=x₂=

2 3

3

•

r2-1

，或x₁=

2 3

3

•

r2-1

且x₂=-

2 3

3

•

r2-1

，
①當x₁=x₂=

2 3

3

•

r2-1

時，可得若四邊形OABC為菱形，則B點必定是右頂點（2，0）；
②若x₁=

2 3

3

•

r2-1

且x₂=-

2 3

3

•

r2-1

，則x₁+x₂=0，
可得AC的中點必定是原點O，因此A、O、C共線，可得不存在滿足條件的菱形OABC
綜上所述，可得當點B不是W的頂點時，四邊形OABC不可能為菱形．