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【題目】已知數列{an}的各項均為正數,a1=1,前n項和為Sn , 且an+12﹣nλ2﹣1=2λSn , λ為正常數.
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)記bn= ,Cn= + (k,n∈N*,k≥2n+2). 求證:
①bn<bn+1
②Cn>Cn+1

【答案】
(1)解:∵a2n+1﹣nλ2﹣1=2λSn,λ為正常數.∴n≥2時, ﹣(n﹣1)λ2﹣1=2λSn1

∴a2n+1﹣nλ2 +(n﹣1)λ2=2λan.化為:an+1﹣an=λ.

n=1時, ﹣1=2λ,解得a2=λ+1,因此a2﹣a1=λ.

∴數列{an}是等差數列,公差為λ.

∴an=1+λ(n﹣1)


(2)證明:①由(1)可得:Sn=

∴bn= = =

bn+1﹣bn= = >0.

∴bn+1>bn

②∵Cn= + ,(k,n∈N*,k≥2n+2).

∴Cn+1﹣Cn=

= +

=

∵k≥2n+2,∴n+1<k﹣n,n<k﹣n﹣1.

由an>0,∴0<Sn<Skn1,∴

又0<bn+1<bkn,∴ ,

∴Cn+1﹣Cn<0.∴Cn>Cn+1


【解析】(1)a2n+1﹣nλ2﹣1=2λSn , λ為正常數.可得:n≥2時, ﹣(n﹣1)λ2﹣1=2λSn1 . 相減化為:an+1﹣an=λ.n=1時, ﹣1=2λ,解得a2=λ+1,因此a2﹣a1=λ.利用等差數列的通項公式可得:an=1+λ(n﹣1).(2)①由(1)可得:Sn= .可得bn= = ,作差bn+1﹣bn , 化簡即可得出.②Cn= + ,(k,n∈N*,k≥2n+2).作差Cn+1﹣Cn= = .利用其單調性即可得出.
【考點精析】本題主要考查了數列的前n項和和數列的通項公式的相關知識點,需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系;如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能正確解答此題.

練習冊系列答案
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,經檢驗知,滿足題意.

(2)由題意可知: ,

,則的中點為,

的中點在軸上,∴,

型】解答
束】
16

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0

1

2

n

其中 )滿足: ,且
定義由 生成的函數 ,令
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(Ⅲ)現投擲一枚骰子兩次,隨機變量 表示兩次擲出的點數之和,此時由 生成的函數記為 ,求 的值.

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