【題目】已知數列{an}的各項均為正數,a1=1,前n項和為Sn , 且an+12﹣nλ2﹣1=2λSn , λ為正常數.
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)記bn= ,Cn=
+
(k,n∈N*,k≥2n+2). 求證:
①bn<bn+1;
②Cn>Cn+1 .
【答案】
(1)解:∵a2n+1﹣nλ2﹣1=2λSn,λ為正常數.∴n≥2時, ﹣(n﹣1)λ2﹣1=2λSn﹣1.
∴a2n+1﹣nλ2﹣ +(n﹣1)λ2=2λan.化為:an+1﹣an=λ.
n=1時, ﹣1=2λ,解得a2=λ+1,因此a2﹣a1=λ.
∴數列{an}是等差數列,公差為λ.
∴an=1+λ(n﹣1)
(2)證明:①由(1)可得:Sn= .
∴bn= =
=
.
bn+1﹣bn= =
>0.
∴bn+1>bn.
②∵Cn= +
,(k,n∈N*,k≥2n+2).
∴Cn+1﹣Cn= ﹣
﹣
= +
= ﹣
.
∵k≥2n+2,∴n+1<k﹣n,n<k﹣n﹣1.
由an>0,∴0<Sn<Sk﹣n﹣1,∴ .
又0<bn+1<bk﹣n,∴ <
,
∴Cn+1﹣Cn<0.∴Cn>Cn+1
【解析】(1)a2n+1﹣nλ2﹣1=2λSn , λ為正常數.可得:n≥2時, ﹣(n﹣1)λ2﹣1=2λSn﹣1 . 相減化為:an+1﹣an=λ.n=1時,
﹣1=2λ,解得a2=λ+1,因此a2﹣a1=λ.利用等差數列的通項公式可得:an=1+λ(n﹣1).(2)①由(1)可得:Sn=
.可得bn=
=
,作差bn+1﹣bn , 化簡即可得出.②Cn=
+
,(k,n∈N*,k≥2n+2).作差Cn+1﹣Cn=
﹣
﹣
=
﹣
.利用其單調性即可得出.
【考點精析】本題主要考查了數列的前n項和和數列的通項公式的相關知識點,需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系;如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能正確解答此題.
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【題目】如圖,等邊三角形的中線
與中位線
相交于
,已知
是
繞
旋轉過程中的一個圖形,下列命題中,錯誤的是
A. 恒有⊥
B. 異面直線與
不可能垂直
C. 恒有平面⊥平面
D. 動點在平面
上的射影在線段
上
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【題目】在平面直角坐標系中,直線
.
(1)若直線與直線
平行,求實數
的值;
(2)若,
,點
在直線
上,已知
的中點在
軸上,求點
的坐標.
【答案】(1);(2)
【解析】試題分析:(1)根據兩直線平行,對應方向向量共線,列方程即可求出的值;(2)根據
時,直線
的方程設出點
的坐標,由此求出
的中點坐標,再由中點在
軸上求出點
的坐標.
試題解析:(1)∵直線與直線
平行,
∴,
∴,經檢驗知,滿足題意.
(2)由題意可知: ,
設,則
的中點為
,
∵的中點在
軸上,∴
,
∴.
【題型】解答題
【結束】
16
【題目】在平面直角坐標系xOy中,已知△ABC三個頂點坐標為A(7,8),B(10,4),C(2,-4).
(1)求BC邊上的中線所在直線的方程;
(2)求BC邊上的高所在直線的方程.
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【題目】設{an}是公比大于1的等比數列,Sn為數列{an}的前n項和,已知S3=7,
且a1+3,3a2,a3+4構成等差數列.
(1)求數列{an}的通項;
(2)令,n=1,2,…,求數列{bn}的前n項和Tn .
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,橢圓 +
=1(a>b>0)的離心率為e,D為右準線上一點.
(1)若e= ,點D的橫坐標為4,求橢圓的方程;
(2)設斜率存在的直線l經過點P( ,0),且與橢圓交于A,B兩點.若
+
=
,DP⊥l,求橢圓離心率e.
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【題目】已知隨機變量 的取值為不大于
的非負整數值,它的分布列為:
0 | 1 | 2 | n | ||
其中 (
)滿足:
,且
.
定義由 生成的函數
,令
.
(I)若由 生成的函數
,求
的值;
(II)求證:隨機變量 的數學期望
,
的方差
;
( )
(Ⅲ)現投擲一枚骰子兩次,隨機變量 表示兩次擲出的點數之和,此時由
生成的函數記為
,求
的值.
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【題目】為了調查某社區(qū)中學生的課外活動,對該社區(qū)的100名中學生進行了調研,隨機抽取了若干名,年齡全部介于13與18之間,將年齡按如下方式分成五組:第一組;第二組
;第五組
.按上述分組方法得到的頻率分布直方圖如圖所示,已知圖中從左到右的前三個組的頻率之比為
,且第二組的頻數為4.
(1)試估計這100名中學生中年齡在內的人數;
(2)求調研中隨機抽取的人數.
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【題目】在平面直角坐標系中,以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C1的極坐標方程為ρ2(1+3sin2θ)=4,曲線C2: (θ為參數).
(Ⅰ)求曲線C1的直角坐標方程和C2的普通方程;
(Ⅱ)極坐標系中兩點A(ρ1 , θ0),B(ρ2 , θ0+ )都在曲線C1上,求
+
的值.
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【題目】設函數f(x)=cos(2x+ )+2cos2x,x∈R.
(1)求函數f(x)的最小正周期和單調增區(qū)間;
(2)將函數f(x)的圖象向右平移 個單位長度后得到函數g(x)的圖象,求函數g(x)在區(qū)間
上的值域.
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