Question

設拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點為F，準線為l，A為C上一點，已知以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓F與l切于B點，且△ABF的面積為2．
（Ⅰ）求p的值及圓F的方程；
（Ⅱ）過B作直線與拋物線C交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）兩點，是否存在常數m，使

|FM|

|FN|

=

y1-m

m-y2

恒成立？若存在，求常數m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設A（

2py

，y），由題意知F（0，

p

2

），|AF|=p，且

1

2

p•

2py

=2，從而求出A（

4

p

，

8

p3

），由|AF|=

( 4 p )2+( 8 p3 - p 2 )2

=p，解得p=2，由此能求出圓F的方程為x²+（y-1）²=4．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，拋物線方程為x²=4y，B（0，-1），設過B點的直線方程為y=kx-1，（k≠0）聯(lián)立

x2=4y y=kx-1

，得x²-4kx+4=0，由此能求出存在常數m=-1，使

|FM|

|FN|

=

y1-m

m-y2

恒成立．

解答： 解：（Ⅰ）∵拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點為F，準線為l，A為C上一點，
以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓F與l切于B點，且△ABF的面積為2．
∴設A（

2py

，y），由題意知F（0，

p

2

），|AF|=p，且

1

2

p•

2py

=2，
解得A（

4

p

，

8

p3

），
由|AF|=

( 4 p )2+( 8 p3 - p 2 )2

=p，解得p=2，∴A（2，1），
圓心F（0，1），圓半徑r=2，
∴圓F的方程為x²+（y-1）²=4．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，拋物線方程為x²=4y，B（0，-1），
由題意知過B點的直線的斜率必存在，設過B點的直線方程為y=kx-1，（k≠0）
聯(lián)立

x2=4y y=kx-1

，得x²-4kx+4=0，
∵過B作直線與拋物線C交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）兩點，
∴△=16k²+16＞0恒成立，x₁+x₂=4k，x₁x₂=4，
若存在常數m，使

|FM|

|FN|

=

y1-m

m-y2

恒成立，
則

|FM|

|FN|

=

x12+(y1-1)2

x22+(y2-1)2

=

y1-m

m-y2

，
∴

x12+y12-2y1+1

x22+y22-2y2+1

=

y12-2my1+m2

m2-2my2+y22

，
∵x12=4y1，x22=4y2，
∴

y12+2y1+1

y22+2y2+1

=

y12-2my1+m2

m2-2my2+y22

，
∴存在常數m=-1，使

|FM|

|FN|

=

y1-m

m-y2

恒成立．

點評：本題考查拋物線方程和圓的方程的求法，考查滿足條件的常數是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意圓、直線方程、拋物線等知識點的綜合運用．