Question

已知函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），滿足f（a•b）=f（a）+f（b），且對(duì)任意x＞1，都有f（x）＞0．
（1）求證：f（

1

x

）=-f（x）；
（2）求證：f（

a

b

）=f（a）-f（b）；
（3）求證：函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；
（4）若f（4）=1，解不等式f（2x+1）-f（1-x）＞

1

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令a=b=1，代入得：f（1）=0；令a=

1

x

，b=x，可得結(jié)論；
（2）f（a）=f（

a

b

•b）=f（

a

b

）+f（b），可得結(jié)論；
（3）利用單調(diào)性的定義證明即可；
（4）不等式f（2x+1）-f（1-x）＞

1

2

，等價(jià)于2x+1＞2（1-x）＞0．

解答： （1）證明：∵對(duì)任意的a，b∈（0，+∞）都有f（a•b）=f（a）+f（b），
∴令a=b=1，代入得：f（1）=0，
令a=

1

x

，b=x，則f（1）=f（

1

x

）+f（x）=0，
∴f（

1

x

）=-f（x）；
（2）證明：∵f（a）=f（

a

b

•b）=f（

a

b

）+f（b），
∴f（

a

b

）=f（a）-f（b）；
（3）證明：令0＜x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1，
∵對(duì)任意x＞1，都有f（x）＞0，
∴f（

x2

x1

）＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂），f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；
（4）解：f（4）=1=f（2）+f（2），∴f（2）=

1

2

．
∵f（2x+1）-f（1-x）＞

1

2

．
∴2x+1＞2（1-x）＞0，
∴

1

4

＜x＜1，即不等式的解集為{x|

1

4

＜x＜1}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查賦值法及轉(zhuǎn)化與運(yùn)算能力，屬于中檔題．