Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（1-x）（a＞0，a≠1）
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）+g（x）的定義域并判斷其奇偶性；
（Ⅱ）求使f（x）+g（x）＜0成立的x的取值范圍．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的定義域，利用函數(shù)奇偶性的定義去判斷．
（Ⅱ）需要分類討論，當(dāng)a＞1和0＜a＜1時，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到不等式，解得即可

解答： 解：（1）要使函數(shù)有意義，則有

1+x＞0 1-x＞0

，解得-1＜x＜1．
所以函數(shù)的定義域為（-1，1）．
因為函數(shù)f（x）的定義域為（-1，1），關(guān)于原點對稱．
所以f（-x）=log_a（1-x）+log_a（1+x）=f（x），
所以函數(shù)f（x）是偶函數(shù)．
（Ⅱ）∵f（x）+g（x）＜0，
∴l(xiāng)og_a（1-x²）＜0=log_a1，
當(dāng)a＞1時，函數(shù)y=log_ax為增函數(shù)，故1-x²＜1，解得x≠0，
∴x的取值范圍為（-1，0）∪（0，1）
當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)y=log_ax為減函數(shù)，故1-x²＞1，解集為空集
綜上所述x的取值范圍為（-1，0）∪（0，1）

點評：本題主要考查了對數(shù)函數(shù)的定義和函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性以及不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題