拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,A(x1,y1),B(x2,y2)(x1>x2,y1>0,y2<0)在拋物線上,且A,F(xiàn),B共線,
|AB|
=
25
4

(1)求x1+x2的值;
(2)求直線AB的方程;
(3)求△AOB的面積.
分析:(1)拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程為x=-1,由A,B,F(xiàn)三點(diǎn)共線,結(jié)合拋物線的定義,得|
AB
|=x1+x2+2=
25
4
.由此能求出x1+x2的值.
(2)設(shè)直線AB:y=k(x-1),而k=
y1-y2
x1-x2
>0,由
y=k(x-1)
y2=4x
得k2x2-2(k2+2)x+k2=0.由經(jīng)能求出直線AB的方程.
(3)由O到直線AB的距離是d=
|-4|
42+(-3)2
=
4
5
,能夠得到△AOB的面積為
1
2
×
25
4
×
4
5
=
5
2
解答:解:(1)拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程為x=-1.
∵A,B,F(xiàn)三點(diǎn)共線.由拋物線的定義,得|
AB
|=x1+x2+2=
25
4

∴x1+x2=
25
4
-2=
17
4

(2)設(shè)直線AB:y=k(x-1),而k=
y1-y2
x1-x2
,x1>x2,y1>0,y2<0,∴k>0,
y=k(x-1)
y2=4x
得k2x2-2(k2+2)x+k2=0.
x1+x2=
2(k2+2)
k2
x1x2=1
,|
AB
|=x1+x2 +2=
2(k2+2)
k2
+2=
25
4

k2=
16
9
.(8分)
從而k=
4
3
,故直線AB的方程為y=
4
3
(x-1)
,即4x-3y-4=0.
(3)∵O到直線AB的距離是d=
|-4|
42+(-3)2
=
4
5
,
∴△AOB的面積為
1
2
×
25
4
×
4
5
=
5
2
點(diǎn)評(píng):本題考查x1+x2的值,直線方程和三角形的面積,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意拋物線性質(zhì)的合理運(yùn)用.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,則過點(diǎn)F和M(4,4)且與準(zhǔn)線l相切的圓的個(gè)數(shù)是(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F.
(1)若直線l過點(diǎn)M(4,0),且F到直線l的距離為2,求直線l的方程;
(2)設(shè)A,B為拋物線上兩點(diǎn),且AB不與X軸垂直,若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2.求證:線段AB的垂直平分線恰過定點(diǎn).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),且AF=2BF,則A點(diǎn)的坐標(biāo)為
(5,2
2
)或(5,-2
2
(5,2
2
)或(5,-2
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•洛陽二模)已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,過F的直線與該拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),則
y
2
1
+
y
2
2
的最小值是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•安徽模擬)在拋物線
y
2
 
=4x
的焦點(diǎn)為圓心,并與拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的方程是
(x-1)2+y2=4
(x-1)2+y2=4

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