Question

如圖（1），為等邊三角形，是以為直角頂點的等腰直角三角形且，為線段中點，將沿折起（如圖2），使得線段的長度等于，對于圖二，完成以下各小題：

（圖1） （圖2）

(1)證明：平面；

(2)求直線與平面所成角的正弦值；

(3)線段上是否存在點，使得平面與平面垂直？若存在，請求出線段的長度；若不存在，請說明理由。

Answer 1

(1) 見解析

(2)

(3) 故線段AB上存在點P，此時線段的長度為

【解析】

試題分析：關于線面垂直的證明問題，注意把線面垂直的判定定理的內容記熟，對于線線、線面垂直的轉化要熟悉，注意線面角的求法，并且第一步求出的直接結果就是線面角的正弦值，要看清要求的結果是誰，關于是否存在類問題，注意一般步驟，要先下結論，之后求解，能求出來就說明有，退出矛盾，就說明沒有.

試題解析：（1）∵

又∵∴ ∴

同理可證 故垂直面內兩條相交直線

則平面 3分

(2) 由(1)知,,又有

故可建如圖所示建立空間直角坐標系C-xyz. 4分

∴

∴ ，,,

設平面ABD的一個法向量為，

則，取，得． 6分

設直線AE與平面所成角為θ，

則， 7分

∴設直線AE與平面所成角的正弦值為. 8分

（3）假設存在符合條件的點P,并設()

則

設平面CPE的一個法向量為，

則，取，得． 11分

要使得平面CPE與平面垂直,只需即

解得，

故線段AB上存在點P，使得平面CPE與平面垂直，此時線段的長度為 14分

（說明：①答案提及“存在”而不能說明理由的得1分

②第（3）小題也可設P（2-t,0,t）展開解答）

考點：線面垂直，線面角，面面垂直.