點P為底邊長為2
3
,高為2的正三棱柱表面上的動點,MN是該棱柱內(nèi)切球的一條直徑,則
PM
PN
取值范圍是( 。
A、[0,2]
B、[0,3]
C、[0,4]
D、[-2,2]
考點:平面向量數(shù)量積的運算
專題:計算題,平面向量及應(yīng)用,空間位置關(guān)系與距離
分析:由題意,問題等價于已知MN是邊長為2
3
的正△ABC內(nèi)切圓的一條直徑,P為邊AB上的一動點,求
PM
PN
的取值范圍.建立直角坐標(biāo)系,利用正三角形的中心的性質(zhì),可得內(nèi)切圓的半徑r=1.可得正△ABC內(nèi)切圓的方程為x2+(y-1)2=1.設(shè)P(t,0)(-
3
≤t≤
3
),M(x0,y0),N(-x0,2-y0),再利用數(shù)量積運算即可得出.
解答: 解:由題意,問題等價于已知MN是邊長為2
3
的正△ABC
內(nèi)切圓的一條直徑,P為邊AB上的一動點,
PM
PN
的取值范圍.
建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,
∵⊙D是邊長為2
3
的正△ABC內(nèi)切圓,
∴內(nèi)切圓的半徑r=
1
3
|OC|=
1
3
×
3
2
×2
3
=1.
∴正△ABC內(nèi)切圓的方程為x2+(y-1)2=1.
設(shè)P(t,0)(-
3
≤t≤
3
),
M(x0,y0),N(-x0,2-y0).
PM
=(x0-t,y0),
PN
=(-x0-t,2-y0),
∴x02+(y0-1)2=1,即x02+y02-2y0=0.
PM
PN
=t2-(x02+y02-2y0)=t2,
∵-
3
≤t≤
3
.∴t2∈[0,3].
PM
PN
的取值范圍的取值范圍是[0,3].
故選B.
點評:本題考查了正三角形的中心的性質(zhì)、內(nèi)切圓的方程、數(shù)量積的運算等基礎(chǔ)知識與基本技能方法,考查了推理能力和計算能力,屬于難題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(cosx,sin
x
2
)
b
=(0,cos
x
2
)
,x∈R,若函數(shù)f(x)=2+sinx-|a-b|2,且函數(shù)g(x)的圖象與函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點成中心對稱.
(Ⅰ)求函數(shù)g(x)的解析式;
(Ⅱ)若h(x)=g(x)-λf(x)+1在x∈[-
π
2
,
π
2
]上是增函數(shù),求實數(shù)λ的取值范圍.

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已知二次函數(shù)f(x)=x2-16x+q+3
(1)若函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上存在零點,求實數(shù)q的取值范圍;
(2)是否存在常數(shù)t(t≥0),當(dāng)t∈[t,10]時,f(x)的值域為區(qū)間D,且區(qū)間D的長度為12-t(視區(qū)間[a,b]的長度為b-a),若存在,求出所有滿足條件的t,若不存在,說明理由.

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將下列函數(shù)轉(zhuǎn)化為Asin(ωx+φ)+B的形式,
(1)f(x)=cosx(sinx-cosx)+1
(2)f(x)=2
3
sinxcosx-2sin2x.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若不等式ax2>lnx+1對任意x∈(0,+∞)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若不等式(a-a2)•(x2+1)+x≤0對一切x∈[(0,2]恒成立,則a的取值范圍為( 。
A、(-∞,
1-
3
2
B、[
1+
3
2
,+∞)
C、[
1-
3
2
,
1+
3
2
]
D、(-∞,
1-
3
2
]∪[
1+
3
2
,+∞)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a1=2014,且an+2an+1+an+2=0(n∈N*),則S2014=( 。
A、2013B、2014
C、1D、0

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,若a=55,b=16,且
1
2
absinC=220
3
,求角C.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

拋物線8y-x2=0的焦點F到直線l:x-y-1=0的距離是( 。
A、
5
2
2
B、
2
C、
2
2
D、
3
2
2

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同步練習(xí)冊答案