Question

8．設x，y滿足約束條件$\left\{{\begin{array}{l}{x+y-7≤0}\\{x-3y+1≤0}\\{3x-y-5≥0}\end{array}}\right.$，則$\frac{y+1}{x-4}$的取值范圍是（-∞，-1]∪[3，+∞）．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，利用$\frac{y+1}{x-4}$的幾何意義，即可行域內的動點（x，y）與定點P（4，-1）連線的斜率求得答案．

解答 解：由約束條件$\left\{{\begin{array}{l}{x+y-7≤0}\\{x-3y+1≤0}\\{3x-y-5≥0}\end{array}}\right.$作出可行域如圖，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-3y+1=0}\\{x+y-7=0}\end{array}\right.$，解得A（5，2），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-3y+1=0}\\{3x-y-5=0}\end{array}\right.$，解得C（2，1），
$\frac{y+1}{x-4}$的幾何意義為可行域內的動點（x，y）與定點P（4，-1）連線的斜率，
∵${k}_{PA}=\frac{-1-2}{4-5}=3，{k}_{PC}=\frac{-1-1}{4-2}=-1$．
∴$\frac{y+1}{x-4}$的取值范圍是（-∞，-1]∪[3，+∞）．
故答案為：（-∞，-1]∪[3，+∞）．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結合的解題思想方法，是中檔題．