Question

已知S是△ABC所在平面外一點(diǎn)，∠ASC=90°，∠ASB=∠BSC=60°，且SA=SB=SC．
（1）求證：平面SAC⊥平面ABC；
（2）求二面角B-AS-C的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：對(duì)第（1）問(wèn)，取AC的中點(diǎn)O，連結(jié)BO，SO，則∠BOS為二面角B-AC-S的平面角，只需計(jì)算出S0，BO，由勾股定理的逆定理可判斷∠BOS=90°，即可得證．
對(duì)第（2）問(wèn)，取AS的中點(diǎn)M，連結(jié)MO，MB，先證明∠BMO為二面角B-AS-C的平面角，再解△BMO即可．

解答： 解：（1）證明：取AC的中點(diǎn)O，連結(jié)BO，SO，設(shè)SA=SB=SC=1，
由條件易知，SO⊥AC，AC=

2

，SO=

1

2

AC=

2

2

，AB=BC=SA=1．
由AB²+BC²=AC²知，AB⊥BC，
∴BO⊥AC，且BO=

1

2

AC=

2

2

，∴SO²+BO²=SB²，
∴二面角B-AC-S的平面角∠BOS=90°，即平面SAC⊥平面ABC．
（2）取AS的中點(diǎn)M，連結(jié)MO，MB，由（1）知，△SAB與△SBC為全等的正三角形，
∴SA⊥MB，SA⊥MO，故∠BMO為二面角B-AS-C的平面角．
又由BO⊥AC及BO⊥SO，得BO⊥平面SAC，
在△BMO中，易得MO=

2

2

，MB=

3

2

，∴cos∠BMO=

MO

MB

=

6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了面面垂直的判定方法及二面角大小的求法，本題使用的均為定義法，其一般步驟分別為：
1．利用定義法證明面面垂直：第一步，作出二面角的平面角；第二步，證明此平面角為90°，即可下結(jié)論．
2．利用定義法求二面角的大�。�
第一步，作出二面角的平面角，即在二面角的棱上取一點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的垂射線；
第二步，將此平面角放在一個(gè)三角形中，解此三角形即可．