Question

已知函數(shù)f（x）=2x-alnx．
（1）若f（x）在x=1處的切線與直線x+y+1=0垂直，求證：對任意x₁、x₂∈[

1

e

，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤1-ln2；
（2）若a＜0，對于任意x₁、x₂∈[

1

e

，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4|x₁-x₂|成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計算題,壓軸題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)，由題意可得f′（1）=2-a=1，從而解出a，代入求f（x）在[

1

e

，1]上的最大值為2，最小值為1+ln2，將恒成立問題化為最值問題；
（2）由題意，f（x）在[

1

e

，1]上是增函數(shù)，f′（x）在[

1

e

，1]上是減函數(shù)，化恒成立問題為

f(x1)-f(x2)

x1-x2

≤4對于任意x₁、x₂∈[

1

e

，1]都成立，則f′（

1

e

）=2-ae≤4，從而解出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）證明：f′（x）=2-a

1

x

，
∵f（x）在x=1處的切線與直線x+y+1=0垂直，
∴f′（1）=2-a=1，
∴a=1，
∴f（x）=2x-lnx，f′（x）=2-

1

x

，
∴f（x）在[

1

e

，

1

2

]上減，在[

1

2

，1]上增，
∵f（

1

e

）=

2

e

+1，f（

1

2

）=1+ln2，f（1）=2，
則f（x）在[

1

e

，1]上的最大值為2，最小值為1+ln2，
故對任意x₁、x₂∈[

1

e

，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤2-（1+ln2）=1-ln2．
（2）f′（x）=2-a

1

x

，
又∵a＜0，x∈[

1

e

，1]，
∴f（x）在[

1

e

，1]上是增函數(shù)，f′（x）在[

1

e

，1]上是減函數(shù)，
不妨設(shè)x₁＞x₂，則|f（x₁）-f（x₂）|≤4|x₁-x₂|可化為
f（x₁）-f（x₂）≤4x₁-x₂，
即

f(x1)-f(x2)

x1-x2

≤4對于任意x₁、x₂∈[

1

e

，1]都成立，
則f′（

1

e

）=2-ae≤4，
則-

2

e

≤a＜0．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問題的處理方法，屬于難題．