Question

已知函數(shù)f（x）=2x³-3ax²+8，若f（x）存在唯一的零點x₀，且x₀＜0，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、（-∞，0）
• B、（-∞，0）∪[2，+∞）
• C、[0，2]
• D、（-∞，2）

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：由f（x）=2x³-3ax²+8求導可得f′（x）=6x²-6ax=6x（x-a），從而分類討論導數(shù)的正負以確定函數(shù)的單調(diào)性即極值，從而求實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：∵f（x）=2x³-3ax²+8，
∴f′（x）=6x²-6ax=6x（x-a），
當a=0時，f（x）存在唯一的零點x₀=-

3	4

；
故排除A、B；
當a＜0時，f′（x）=6x（x-a），
故當x＜a或x＞0時，f′（x）＞0；
當a＜x＜0時，f′（x）＜0；
故f（x）在（-∞，a）上是增函數(shù)，在（a，0）上是減函數(shù)，在（0，+∞）上是增函數(shù)；
又∵f（0）=8＞0；
故f（x）存在唯一的零點x₀，
故排除C；
故選D．

點評：本題考查了函數(shù)的導數(shù)的應用及分類討論的思想的應用，屬于中檔題．