Question

已知函數(shù)f（x）=2x³-3ax²+8，若f（x）存在唯一的零點(diǎn)x₀，且x₀＜0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A、（-∞，0）
• B、（-∞，0）∪[2，+∞）
• C、[0，2]
• D、（-∞，2）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由f（x）=2x³-3ax²+8求導(dǎo)可得f′（x）=6x²-6ax=6x（x-a），從而分類討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)以確定函數(shù)的單調(diào)性即極值，從而求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：∵f（x）=2x³-3ax²+8，
∴f′（x）=6x²-6ax=6x（x-a），
當(dāng)a=0時(shí)，f（x）存在唯一的零點(diǎn)x₀=-

3	4

；
故排除A、B；
當(dāng)a＜0時(shí)，f′（x）=6x（x-a），
故當(dāng)x＜a或x＞0時(shí)，f′（x）＞0；
當(dāng)a＜x＜0時(shí)，f′（x）＜0；
故f（x）在（-∞，a）上是增函數(shù)，在（a，0）上是減函數(shù)，在（0，+∞）上是增函數(shù)；
又∵f（0）=8＞0；
故f（x）存在唯一的零點(diǎn)x₀，
故排除C；
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及分類討論的思想的應(yīng)用，屬于中檔題．