Question

已知A，B分別是橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1的左、右頂點，P是橢圓上異與A，B的任意一點，Q是雙曲線C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1上異與A，B的任意一點，a＞b＞0．
（I）若P（

5

2

，

3

），Q（

5

2

，1），求橢圓C_l的方程；
（Ⅱ）記直線AP，BP，AQ，BQ的斜率分別是k₁，k₂，k₃，k₄，求證：k₁•k₂+k₃•k₄為定值；
（Ⅲ）過Q作垂直于x軸的直線l，直線AP，BP分別交 l于M，N，判斷△PMN是否可能為正三角形，并說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把點P的坐標代入橢圓方程，點Q的坐標代入雙曲線方程，兩式聯(lián)立后可求得a²與b²的值，從而求出橢圓的方程；
（Ⅱ）設出P、Q的坐標，由兩點式直接寫出直線AP，BP，AQ，BQ的斜率，把P、Q的縱坐標分別用橫坐標表示，代入k₁•k₂+k₃•k₄后整理即可得到結論；
（Ⅲ）假設△PMN能為正三角形，利用平面幾何知識可得到∠PAN=30°，∠PBA=30°，從而得到點P位于橢圓的短軸的兩個端點時△PMN能為正三角形．

解答：（Ⅰ）解：∵P（

5

2

，

3

）在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1上，Q（

5

2

，1）在雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1上，
則

5 4a2 + 3 b2 =1① 25 4a2 - 1 b2 =1②

，
①+②×3得：

80

4a2

=4，a²=5，
把a²=5代入①得，b²=4．
所以橢圓C_l的方程為

x2

5

+

y2

4

=1；
（Ⅱ）證明：由A（-a，0），B（a，0），
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則k1=

y1

x1+a

，k2=

y1

x1-a

，k3=

y2

x2+a

，k4=

y2

x2-a

k₁•k₂+k₃•k₄=

y1

x1+a

•

y1

x1-a

+

y2

x2+a

•

y2

x2-a

=

y12

x12-a2

+

y22

x22-a2

∵設P（x₁，y₁）在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1上，Q（x₂，y₂）在雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1上，
∴y12=

b2

a2

(a2-x12)，y22=

b2

a2

(x22-a2)
則k₁•k₂+k₃•k₄=

y12

x12-a2

+

y22

x22-a2

=

b2 a2 (a2-x12)

x12-a2

+

b2 a2 (x22-a2)

x22-a2

=-

b2

a2

+

b2

a2

=0．
所以k₁•k₂+k₃•k₄為定值；
（Ⅲ）假設△PMN是正三角形，
∴∠MPN=∠PMN=60°，
又∵MN⊥x軸，∴∠PAN=30°，∠PBA=30°，
∴△PAB為等腰三角形，∴點P位于y軸上，且P在橢圓上，
∴點P的坐標為（0，±b），
此時

|OP|

|OA|

=tan30°=

b

a

=

3

3

，
即a=

3

b．
綜上，當a=

3

b，且點P的坐標為（0，±b）時，△PMN為正三角形．

點評：本題是圓錐曲線的綜合題，考查了利用代入法求圓錐曲線的方程，訓練了學生的整體運算能力，考查了平面幾何知識在圓錐曲線問題中的應用，是有一定難度題目．