Question

【題目】已知函數(shù)．

(I)討論函數(shù)在上的單調(diào)性；

(II)設函數(shù)存在兩個極值點，并記作，若，求正數(shù)的取值范圍；

(III)求證：當=1時， （其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

【答案】（1）當時，函數(shù)在上是增函數(shù)；當時，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．（2）正數(shù)的取值范圍是．（3）見解析

【解析】試題分析:（1）先求函數(shù)導數(shù)，，再討論導函數(shù)在定義區(qū)間上符號變化規(guī)律：當時， ，即在上是增函數(shù)；當時，導函數(shù)有一個零點，符號先負后正，對應區(qū)間先減后增，（2）由題意易得要使函數(shù)存在兩個極值點，必有，且極值點必為， ，因此，即正數(shù)的取值范圍是．再化簡條件，得，利用導數(shù)研究其單調(diào)性：為單調(diào)減，因此正數(shù)的取值范圍是．（3）要證不等式，即證，利用導數(shù)易得函數(shù)最小值為1，而,得證.

試題解析：（Ⅰ） ，（ ）

當時， ， ，函數(shù)在上是增函數(shù)；

當時，由，得，解得（負值舍去），，所以

當時， ，從而，函數(shù)在上是減函數(shù)；

當時， ，從而，函數(shù)在上是增函數(shù)．

綜上，當時，函數(shù)在上是增函數(shù)；

當時，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當時， ，函數(shù)無極值點；

要使函數(shù)存在兩個極值點，必有，且極值點必為， ，又由函數(shù)定義域知， ，則有，即

，化為，所以，

所以，函數(shù)存在兩個極值點時，正數(shù)的取值范圍是．

由（）式可知，

不等式化為，

令，所以，

令， ．

當時， ， ，所以，不合題意；

當時， ， ，所以

在是減函數(shù)，所以，適合題意，即．

綜上，若，此時正數(shù)的取值范圍是．

（Ⅲ）當時， ，

不等式可化為，所以

要證不等式，即證，即證，

設，則，

在上，h'（x）＜0，h（x）是減函數(shù)；

在上，h'（x）＞0，h（x）是增函數(shù)．

所以，

設，則是減函數(shù)，

所以，

所以，即，

所以當時，不等式成立．