Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時有f（x）=

4x

x+4

（1）判斷函數(shù)f（x）在[0，+∞）上的單調(diào)性，并用定義證明；
（2）求函數(shù)f（x）的解析式（寫成分段函數(shù)的形式）．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）運用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明，注意作差、變形和定符號、下結(jié)論幾個步驟；
（2）運用偶函數(shù)的定義，求出x＜0的表達(dá)式，即可得到f（x）的解析式．

解答： 解：（1）函數(shù)f(x)=

4x

x+4

在[0，+∞）上單調(diào)遞增．
證明：設(shè)x₁＞x₂≥0，則f(x1)-f(x2)=

4x1

x1+4

-

4x2

x2+4

，
=

16(x1-x2)

x1x2+4(x1+x2)+16

，
又x₁＞x₂≥0，所以x₁-x₂＞0，x₁x₂≥0，x₁+x₂＞0，
所以

16(x1-x2)

x1x2+4(x1+x2)+16

＞0．
則f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故函數(shù)f(x)=

4x

x+4

在[0，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）由于當(dāng)x≥0時有f(x)=

4x

x+4

，
而當(dāng)x＜0時，-x＞0，
則f(-x)=

-4x

-x+4

=

4x

x-4

=f(x)，
即f(x)=

4x

x-4

（x＜0）．
則f(x)=

4x x+4 (x≥0) 4x x-4 (x＜0)

．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，函數(shù)的解析式的求法，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．