Question

已知等比數(shù)列的公比為，是的前項(xiàng)和．
（1）若，，求的值；
（2）若，，有無最值？并說明理由；
（3）設(shè)，若首項(xiàng)和都是正整數(shù)，滿足不等式：，且對于任意正整數(shù)有成立，問：這樣的數(shù)列有幾個(gè)？

Answer 1

（1）;（2）有最大值為，最小值為;（3）個(gè)． 

試題分析：（1）根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，可見要對分類討論，當(dāng)時(shí)，，，，從而不難求出;當(dāng)時(shí)，，，，即可利用根據(jù)定義求出;（2）根據(jù)題意可求出數(shù)列的前項(xiàng)和，要求出的最值，可見要分和兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)時(shí)利用單調(diào)性即可求出的最值情況，當(dāng)時(shí)，由于將隨著的奇偶性正負(fù)相間，故又要再次以的奇偶數(shù)進(jìn)行討論，再利用各自的單調(diào)性即可求出的最值; （3）首先由含有的絕對值不等式可求出的范圍，再用表示出，由單調(diào)性不難求出的最小值，即，故并分別代入進(jìn)行，依據(jù)就可求出的范圍，最后結(jié)合是正整數(shù)，從而確定出的個(gè)數(shù)．
試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，，                     2分
當(dāng)時(shí)，，，               4分
所以（可以寫成；
（2）若，，則，
當(dāng)時(shí)，，所以隨的增大而增大，
而，此時(shí)有最小值為1，但無最大值．         6分
當(dāng)時(shí)，
①時(shí)，，所以隨的增大而增大，
即是偶數(shù)時(shí)，，即：；       8分
②時(shí)，，
即：，所以隨的增大而減小，
即是奇數(shù)時(shí)，，即：；
由①②得：，有最大值為，最小值為．        10分
（3）由得，所以，                  11分
，隨著的增大而增大，故，
即：，，得．                   13分
當(dāng)時(shí)，
，
又，得共有個(gè)；                       15分
當(dāng)時(shí)，
 
又，得共有個(gè)；                       17分
由此得：共有個(gè)．                               18分