Question

設(shè)F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，B（0，-1）．
（Ⅰ）若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最大值和最小值；
（Ⅱ）若C為橢圓上異于B一點(diǎn)，且，求λ的值；
（Ⅲ）設(shè)P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△PBF₁的周長的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）易知，所以，，
設(shè)P（x，y），則
=．
因?yàn)閤∈[-2，2]，故當(dāng)x=0，即點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，有最小值-2．
當(dāng)x=±2，即點(diǎn)P為橢圓長軸端點(diǎn)時(shí)，有最大值1．
（Ⅱ）設(shè)C（x₀，y₀），B（0，-1），，由，得 ，
又 ，所以有 λ²+6λ-7=0，解得λ=-7，（λ=1＞0舍去）．
（Ⅲ） 因?yàn)閨PF₁|+|PB|=4-|PF₂|+|PB|≤4+|BF₂|，∴△PBF₁的周長≤4+|BF₂|+|BF₁|≤8．
所以當(dāng)P點(diǎn)位于直線BF₂與橢圓的交點(diǎn)處時(shí)，△PBF₁周長最大，最大值為8．
分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓的方程，求出焦點(diǎn)的坐標(biāo)，化簡的 解析式為，結(jié)合x∈[-2，2]，求得它的最值．
（Ⅱ）設(shè)C（x₀，y₀），由，用λ 表示 x₀，y₀，把C（x₀，y₀）代入橢圓的方程求得λ值．
（Ⅲ） 因?yàn)閨PF₁|+|PB|=4-|PF₂|+|PB|≤4+|BF₂|，可得△PBF₁的周長≤4+|BF₂|+|BF₁|≤8．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，解得λ=-7把λ=1＞0舍去，是解題的易錯(cuò)點(diǎn)．